Найдите значение выражения:

а) (3√112+2√175): √7

б) (3√7- √15) (3√7+ √15)

в) $\sqrt{7+4\sqrt{3} }$ - $\sqrt{7-4\sqrt{3} }$

г) ( $\frac{2}{\sqrt{19}+\sqrt{17} }$ + $\frac{2}{\sqrt{17+\sqrt{15} } }$ + $\sqrt{15})\sqrt{19}$

Ответы

mirtovamasha 27.12.2023 16:33

а) Для удобства вычислений найдем значения выражений под корнем:

$\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$

$\sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{7} = 5\sqrt{7}$

Теперь заменим значения и вычислим:

$(3\sqrt{112}+2\sqrt{175}) : \sqrt{7} = (3(4\sqrt{7})+2(5\sqrt{7})) : \sqrt{7} = (12\sqrt{7}+10\sqrt{7}) : \sqrt{7} = 22 : 1 = 22$

Ответ: 22

б) Применим формулу разности квадратов:

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Произведем следующие замены:

$a = 3\sqrt{7}$
$b = \sqrt{15}$

$(3\sqrt{7} - \sqrt{15})(3\sqrt{7} + \sqrt{15}) = (3\sqrt{7})^2 - (\sqrt{15})^2$

$= 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 - 1 \cdot (\sqrt{15})^2$

$= 9 \cdot 7 - 1 \cdot 15$

$= 63 - 15$

Ответ: 48

в) Вычислим каждую из скобок по отдельности:

$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

Представим $7+4\sqrt{3}$ в виде суммы двух квадратных корней:

$7+4\sqrt{3} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$

Найдем значения a и b:

$ab = 3$
$a + b = 7$

Очевидно, что a = 3 и b = 4.

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 2)^2} = \sqrt{3} + 2$

Аналогично, для второго корня:

$\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} = \sqrt{3} - 2$

Теперь вычислим разность:

$\sqrt{7+4\sqrt{3} } -\sqrt{7-4\sqrt{3} } = (\sqrt{3} + 2) - (\sqrt{3} - 2) = 2 + 2 = 4$

Ответ: 4

г) Проанализируем каждый из представленных членов по отдельности:

$\frac{2}{\sqrt{19}+\sqrt{17}}$

Здесь мы можем применить формулу разности квадратов:

$\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{2(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$

В данном случае a = 19 и b = 17, следовательно:

$\frac{2}{\sqrt{19}+\sqrt{17}} = \frac{2(\sqrt{19}-\sqrt{17})}{19-17} = \sqrt{19}-\sqrt{17}$

Далее:

$\frac{2}{\sqrt{17+\sqrt{15}}}$

В данном случае применим аналогичную формулу:

$\frac{2}{\sqrt{17+\sqrt{15}}} = \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Представим $17+\sqrt{15}$ в виде суммы двух корней:

$17+\sqrt{15} = (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$

Найдем значения a и b:

$ab = 15$
$a+b = 17$

Решим систему уравнений и получим a = 16 и b = 1.

Теперь можем вычислить значение:

$\frac{2}{\sqrt{17+\sqrt{15}}} = \frac{2(\sqrt{16}-\sqrt{1})}{16-1} = \frac{2(4-1)}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

И наконец:

$\left(\frac{2}{\sqrt{19}+\sqrt{17}}+\frac{2}{\sqrt{17+\sqrt{15}}}+\sqrt{15}\right)\sqrt{19} = (\sqrt{19}-\sqrt{17})+\left(\frac{2}{5}\right)+\sqrt{15}$

$= \sqrt{19}-\sqrt{17}+\frac{2}{5}+\sqrt{15}$

Ответ: $\sqrt{19} - \sqrt{17} + \frac{2}{5} + \sqrt{15}$