Найдите все значения параметра 'a', при которых уравнение (1+а)ctg^2 x-(2a+4)/sin x+1-7a=0 имеет более одного решения на интервале (0; π/2).
люди

ответ: a ∈ (-1; -2/3) ∪ (-2/3; -1/3)

Объяснение:

(1 + a)ctg²x - (2a + 4)/sin x + 1 - 7a = 0

(1 + a)(1/sin²x - 1) - (2a + 4)/sin x + 1 - 7a = 0

Замена: 1/sin x = t

(1 + a)(t² - 1) - (2a + 4)t + 1 - 7a = 0

(1 + a)t² - (2a + 4)t - 1 - a + 1 - 7a = 0

(1 + a)t² - (2a + 4)t - 8a = 0

При а = -1:

-2t + 8 = 0

t = 4

sin x = 1/4, x ∈ (0; π/2)

x = arc sin 1/4 - единственное решение.

а = -1 - не подходит.

При а ≠ -1:

D = (2a + 4)² + 32a(1 + a) = 4a² + 16a + 16 + 32a + 32a² = 36a² + 48a + 16 = (6a + 4)²

t = (2a + 4 ± (6a + 4)) / 2(1 + a)

t₁ = -4a/ 2(1 + a) = -2a/(1 + a)

t₂ = (8a + 8)/ 2(1 + a) = 4

1/sin x = -2a/(1 + a)

1/sin x = 4

sin x = -(1 + a) / 2a, x ∈ (0; π/2)

sin x = 1/4, x ∈ (0; π/2)

Уравнение будет иметь более одного решения при выполнении двух условий:

0 < -(1 + a) / 2a < 1

-(1 + a) / 2a ≠ 1/4

-2 < (1 + a)/a < 0

(1 + a)/a ≠ -1/2

-2 < 1/a + 1 < 0

1/a + 1 ≠ -1/2

-3 < 1/a < -1

1/a ≠ -3/2

-1 < a < -1/3

a ≠ -2/3

a ∈ (-1; -2/3) ∪ (-2/3; -1/3)