Найдите все натуральные значения n, при которых дробь (n^3 - 8)/(n+2) принимает целые значения

ответ:

2920

объяснение: ((1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)^3-8)/(1+2+3+4+5+6+7+8+9+2)=166367/57=2918,7192≈2920

Для нахождения натуральных значений n, при которых дробь (n^3 - 8)/(n+2) принимает целые значения, мы можем использовать метод деления с остатком или метод подстановки.

Метод деления с остатком:
1. Предположим, что данная дробь принимает целое значение k. То есть, (n^3 - 8)/(n+2) = k.
2. Раскроем скобку в числителе: n^3 - 8 = k(n+2).
3. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения и приведем подобные: n^3 - kn - 2k - 8 = 0.
4. Попробуем подставить некоторые значения n и проверить, равно ли уравнение нулю при этих значениях.
- Попробуем сначала n = 1: (1^3 - k*1 - 2k - 8) = 1 - k - 2k - 8 = -9 - 3k = 0 --> значение не равно нулю.
- Попробуем n = 2: (2^3 - k*2 - 2k - 8) = 8 - 2k - 2k - 8 = -4k = 0 --> значение равно нулю при k = 0.
- Попробуем n = 3: (3^3 - k*3 - 2k - 8) = 27 - 3k - 2k - 8 = 19 - 5k = 0 --> значение не равно нулю.
- Попробуем n = 4: (4^3 - k*4 - 2k - 8) = 64 - 4k - 2k - 8 = 56 - 6k = 0 --> значение равно нулю при k = 9.
- Попробуем n = 5: (5^3 - k*5 - 2k - 8) = 125 - 5k - 2k - 8 = 117 - 7k = 0 --> значение не равно нулю.

Таким образом, мы получили два уравнения: -9 - 3k = 0 (для n = 1) и 56 - 6k = 0 (для n = 4). Решим их:

1. -9 - 3k = 0
-3k = 9
k = -3

2. 56 - 6k = 0
-6k = -56
k = 9

Таким образом, мы нашли два значения n, при которых дробь (n^3 - 8)/(n+2) принимает целые значения: n = 1 при k = -3 и n = 4 при k = 9.

Итак, все натуральные значения n, при которых данная дробь принимает целые значения, это n = 1 и n = 4.