Найдите все а при которых система имеет хотя бы одно решение

ответ: a∈ [√5-1 ;√13+1] ∪  [-1-√13 ; 1-√5]

Объяснение:

Рассмотрим первое неравенство в системе:

x^2+y^2+7<=4*( |x|+|y|)

(x^2-4*|x|+4)+(y^2-4*|y|+4)<=1

(|x|-2)^2+( |y|-2)^2<=1

Рассмотрим  все случаи :

1) x>0 ,y >0

(x-2)^2+(y-2)^2<=1 (заштрихованный круг с центром (2,2)  и радиусом 1 )

2) x<0 ;  y<0

(x+2)^2+(y+2)^2<=1 ( заштрихованный круг с центром (-2,-2) и радиусом 1)

3)  x>0 ; y<0

 (x-2)^2+(y+2)^2<=1 ( заштрихованный круг с центром (2;-2) и радиусом 1)

4)  x<0 , y>0

(x+2)^2+(y-2)^2<=1 (заштрихованный круг c  центром (-2;2) и радиусом 1)

Рассмотрим уравнение 2 :

x^2+y^2+2y=a^2-1

x^2+y^2+2y+1=a^2

x^2+(y+1)^2=a^2  ( окружность  с центром (0;-1)  и радиусом |a| , то есть радиус окружности меняется в зависимости от параметра a)

Покажем на рисунке все случаи существования решений в зависимости от радиуса a. ( они соответствуют случаям касаний окружностей). Все нужные обозначения на рисунке.

Найдем теперь расстояние между центрами окружностей:

A (-2;-2) ;  C(0;-1) ;  B( -2;2)

AC=√( (-2-0)^2 +(-2-(-1) )^2 )= √(4+1)=√5

BC= √( (-2-0)^2 +( 2-(-1) )^2 )=√(4+9)=√13

a1= AC-1 =√5-1

a2= AC+1 =√5+1

a3= BC-1=√13-1

a4=BC+1=√13+1

Cравним числа :

√5+1  и √13-1

 2  и √13-√5

4    и  18-2*√65

-14 и  -2√65

-7 и -√65

-√49 > -√65

Вывод:

√5+1 >√13 -1

a4>a2>a3>a1

Тогда из рисунка видно , что  хотя бы 1  решение ( решения существует) ,когда  |a|∈[ a1 ;a4]

a∈ [√5-1 ;√13+1] ∪  [-1-√13 ; 1-√5]