Найдите точку минимума функции y = 3x^5 − 20x^3 – 54;

Для нахождения точки минимума функции y = 3x^5 - 20x^3 - 54, мы можем применить производную функции и приравнять ее к нулю. Точка, в которой производная равна нулю, будет являться кандидатом на экстремум.

Шаг 1: Вычисление производной функции
y' = 15x^4 - 60x^2

Шаг 2: Приравнение производной к нулю
15x^4 - 60x^2 = 0

Шаг 3: Факторизация выражения
15x^2(x^2 - 4) = 0

Шаг 4: Решение уравнения
15x^2 = 0 или x^2 - 4 = 0

Шаг 5: Нахождение значений x

Для первого уравнения:
15x^2 = 0
x^2 = 0
x = 0

Для второго уравнения:
x^2 - 4 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0
x - 2 = 0 или x + 2 = 0
x = 2 или x = -2

Таким образом, у нас есть три кандидата на экстремум: x = 0, x = 2 и x = -2.

Шаг 6: Определение типа экстремума
Для определения типа экстремума, мы можем использовать вторую производную теста. Если вторая производная положительна, то у нашей функции будет минимум в рассматриваемой точке. Если вторая производная отрицательна, то у нашей функции будет максимум. Если вторая производная равна нулю, то тест неприменим.

Шаг 7: Вычисление второй производной
y'' = 60x^3 - 120x

Шаг 8: Подстановка значений x во вторую производную
Для x = 0:
y'' = 0

Для x = 2:
y'' = 60(2)^3 - 120(2)
y'' = 240 - 240
y'' = 0

Для x = -2:
y'' = 60(-2)^3 - 120(-2)
y'' = -240 + 240
y'' = 0

Шаг 9: Анализ второй производной
Исходя из результатов вычислений второй производной для всех трех кандидатов, мы видим, что вторая производная равна нулю во всех точках. Тест не дает нам информации о типе экстремума.

Шаг 10: Определение точки минимума
Чтобы определить точку минимума, мы можем подставить значения x = 0, x = 2 и x = -2 обратно в исходную функцию и найти соответствующие значения y.

Для x = 0:
y = 3(0)^5 - 20(0)^3 - 54
y = 0 - 0 - 54
y = -54

Для x = 2:
y = 3(2)^5 - 20(2)^3 - 54
y = 3(32) - 20(8) - 54
y = 96 - 160 - 54
y = -118

Для x = -2:
y = 3(-2)^5 - 20(-2)^3 - 54
y = 3(-32) - 20(-8) - 54
y = -96 + 160 - 54
y = 10

Таким образом, мы получаем три точки (0, -54), (2, -118) и (-2, 10). На основании расчетов и анализа второй производной, мы можем сделать вывод, что точка минимума функции y = 3x^5 - 20x^3 - 54 находится в точке (-2, 10).

-2 и 2

Объяснение: находим производную функции и приравниваем к нулю, получится 15x^4-60x^2=0 корни будут х=0; 2; -2 дальше строим числовую ось и расставляем знаки как обычно и по этой числовой оси определяют точки максимума и минимума если знак плюс то рисуем стрелку вверх если минус то вниз но обычно между знаками -+ находится точка минимума отсюда выходят точки минимума 2 и -2 (если нужно могу позже выложить в написанном виде)