Найдите точку максимума функции y=log9(16+4x−x^2)+8

Хорошо, давайте решим эту задачу вместе.

Чтобы найти точку максимума функции, нам нужно найти значения x и y, в которых функция достигает своего наибольшего значения.

Для начала, давайте разберемся с основной функцией y=log₉(16+4x−x²).

1. Сначала посмотрим на выражение в скобках (16+4x−x²). Обратим внимание, что это уравнение квадратного параболы. Давайте найдем вершину этой параболы, так как точка максимума функции будет находиться в вершине параболы.

2. Чтобы найти вершину параболы, нам нужно знать коэффициенты A, B и C. В данном случае, A=-1, B=4 и C=16.

3. Формула для нахождения координат вершины параболы -x₀=-B/2A и y₀=-D/4A, где x₀ и y₀ - это координаты вершины, B - коэффициент при x, A - коэффициент при x² и D - дискриминант. В нашем случае, D=B²-4AC.

4. Подставляем значения коэффициентов в формулу и находим значение x₀ и y₀. x₀=-4/2(-1)=-4/-2=2 и y₀=log₉(16+4*2-(2)²).

5. Далее, вычисляем значение y₀. y₀=log₉(16+8-4)=log₉(20)=log₉(2*2*5)=log₉(2²)+log₉(5)=2*log₉(2)+log₉(5).

6. Теперь у нас есть координаты вершины параболы - (2, y₀), где y₀=2*log₉(2)+log₉(5).

7. В нашем случае, y=y₀+8, так как данная функция сдвигается вверх на 8 единиц. То есть, y=y₀+8=2*log₉(2)+log₉(5)+8.

Итак, ответ: точка максимума функции y=log₉(16+4x−x²)+8 находится в координатах (2, 2*log₉(2)+log₉(5)+8).