Алгебра: Найдите точку максимума функции у=(х-5)^2*e^x-7

Для нахождения локального максимума функции, найдём её стационарные точки, точки недифференцируемости и выясним поведение функции в некоторой окрестности данных точек.Вычислим первую производную функции:[применяем правило (u+v) =u +v ][применяем правило (c) =0, где c=const][применяем правило (uv) =u v+uv ][используем , ∀n∈]Найдём отдельно производную сложной функции (x-5)^2:[по правилам (f(u(x))) =f (u(x))*u (x) и (x^m) =m*x^(m-1)]Подставим найденное значение в :Приравняем производную к нулю и найдём...

Найдите точку максимума функции у=(х-5)^2*e^x-7

Ответы

287888 31.07.2020 06:59

Для нахождения локального максимума функции, найдём её стационарные точки, точки недифференцируемости и выясним поведение функции в некоторой окрестности данных точек.

Вычислим первую производную функции:
((x-5)^2*e^x-7)'=((x-5)^2*e^x+(-7))'

[применяем правило (u+v)'=u'+v']
((x-5)^2*e^x)'+(-7)'

[применяем правило (c)'=0, где c=const]
((x-5)^2*e^x)'

[применяем правило (uv)'=u'v+uv']
((x-5)^2)'*e^x+(x-5)^2*(e^x)'

[используем $(e^x)^{(n)}=e^x$ , ∀n∈ $N_{0}$ ]
((x-5)^2)'*e^x+(x-5)^2*e^x=e^x(((x-5)^2)'+(x-5)^2)

Найдём отдельно производную сложной функции (x-5)^2:
[по правилам (f(u(x)))'=f'(u(x))*u'(x) и (x^m)'=m*x^(m-1)]
2*(x-5)*1=2*(x-5)

Подставим найденное значение в e^x(((x-5)^2)'+(x-5)^2)

e^x(2*(x-5)+(x-5)^2)=e^x(x-5)(2+x-5)=e^x(x-5)(x-3)

Приравняем производную к нулю и найдём стационарные точки, точки недифференцируемости:
e^x(x-5)(x-3)=0

Отсюда x=5;3 - стационарные точки. Точек недифференцируемости нет.

Рассмотрим первую стационарную точку x=5. При x↑ производная меняет знак с "-" на "+" => x=5 - точка локального минимума функции.
Теперь рассмотрим стационарную точку x=3. При x↑ производная меняет знак с "+" на "-" => x=3 - точка локального максимума функции.

ответ: 3.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра