Найдите точки экстремума функции f(x) =x^2 *e^-x

Чтобы найти точки экстремума функции f(x) = x^2 * e^-x, мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Это моменты, когда график функции меняет свой наклон.

1. Начнем с вычисления производной функции f(x). Для этого воспользуемся правилом производной произведения функций.

f'(x) = (2x * e^-x) + (x^2 * (-e^-x)) (производная произведения f(x) = u(x) * v(x) равна u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x))

2. Упростим выражение:

f'(x) = 2x * e^-x - x^2 * e^-x

3. Далее, приравняем производную функции к нулю и решим полученное уравнение:

2x * e^-x - x^2 * e^-x = 0

4. Обозначим e^-x за y и упростим уравнение:

2xy - x^2y = 0

y(2x - x^2) = 0

Теперь у нас есть два возможных варианта:

a) y = 0
Это означает, что e^-x = 0. Но так как экспонента никогда не обращается в ноль, этот случай не имеет решений.

b) 2x - x^2 = 0
Для решения этого уравнения можно применить факторизацию или использовать квадратное уравнение.

2x - x^2 = 0
x(2 - x) = 0

Таким образом, x = 0 или x = 2.

Теперь, чтобы определить, какая точка является точкой максимума, а какая - точкой минимума, мы должны проанализировать поведение функции в областях между и вокруг полученных значений x.

Для этого можно использовать вторую производную. Если вторая производная положительна, то точка является точкой минимума, а если она отрицательна, то точка является точкой максимума.

5. Вычислим вторую производную функции:

f''(x) = (2 * e^-x - 4x * e^-x) - (2x * (-e^-x) - 2 * x^2 * e^-x) (производная произведения f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x))

f''(x) = 2 * e^-x - 4x * e^-x + 2x * e^-x - 2 * x^2 * e^-x

f''(x) = 2 * e^-x - 2 * x^2 * e^-x (упрощаем выражение)

6. Подставим значения x = 0 и x = 2 в выражение для второй производной, чтобы определить их характер:

a) При x = 0:

f''(0) = 2 * e^0 - 2 * 0^2 * e^0 = 2 - 0 = 2

Если вторая производная положительна, то x = 0 является точкой минимума.

b) При x = 2:

f''(2) = 2 * e^-2 - 2 * 2^2 * e^-2 = 2e^-2 - 8e^-2 = (2 - 8) * e^-2 = -6e^-2

Если вторая производная отрицательна, то x = 2 является точкой максимума.

Таким образом, мы находимся у точки минимума при x = 0 (f(0) = 0) и у точки максимума при x = 2 (f(2) = 4e^-2).