Найдите сумму с любым примером из трех)

3-й

найдем как раскладывается дробь a(n)

a(n) = 1/((4n-1)(4n+3)) = 1/4(4n-1) - 1/4(4n+3) = 1/4*(1/(4n-1) - 1/(4n+3))

или понятнее 1/n*(n+4) = 1/4*(1/n - 1/(n+4))

на примере рассмотрим первые две

1/(3*7) = 1/4*(4/(3*7)) = 1/4 *((7-3)/3*7) = 1/4*(1/3 - 1/7)

1/(7*11) = 1/4*(4/(7*11)) = 1/4 *((11-7)/7*11) = 1/4*(1/7 - 1/11)

S(n) = 1/4* (1/3 - 1/7 + 1/7 - 1/11 + 1/11 - 1/13 + .+ 1/(4n-5)-1/(4n-1) + 1/(4n-1)-1/(4n+3) ) = 1/4*( 1/3 - 1 /(4n+3) ) = 1/4*(4n+3 - 3)/3*(4n+3) = n/(3*(4n+3))