Найдите sin a/2, cos a/2, tg a/2, ctg a/2 если sin a= -4/5 и альфа принадлежит 3 четверти

Для начала, давайте разберемся с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса половинного угла.

Пусть у нас есть угол a, и мы хотим найти значения sin a/2, cos a/2, tg a/2 и ctg a/2.

1. Найдем sin a/2.
Существует формула sin a/2 = ±√[(1 - cos a) / 2], где знак ± определяется по квадранту, в котором находится угол a. В данном случае синус отрицательный, так как угол альфа принадлежит 3 четверти. Подставим значение sin a = -4/5:
sin a/2 = -√[(1 - cos a) / 2].

2. Найдем cos a/2.
Существует формула cos a/2 = ±√[(1 + cos a) / 2], где знак снова определяется по квадранту. Подставим значение sin a = -4/5 и найдем cos a:
sin^2 a + cos^2 a = 1.
(-4/5)^2 + cos^2 a = 1.
16/25 + cos^2 a = 1.
cos^2 a = 1 - 16/25.
cos^2 a = 9/25.
cos a = ±√(9/25) = ±3/5.
Так как cosинус положительный в 3 четверти, то cos a = 3/5:
cos a/2 = √[(1 + cos a) / 2] = √[(1 + 3/5) / 2] = √[8/10] = √(4/5) = 2/√5 = 2√5/5.

3. Найдем tg a/2.
Тангенс выражается через синус и косинус: tg a/2 = sin a / (1 + cos a).
Подставим значения sin a = -4/5 и cos a = 3/5 и найдем tg a/2:
tg a/2 = (-4/5) / (1 + 3/5) = (-4/5) / (5/5 + 3/5) = (-4/5) / (8/5) = -4/8 = -1/2.

4. Найдем ctg a/2.
Котангенс выражается через тангенс: ctg a/2 = 1 / tg a/2.
Подставим найденное значение tg a/2 = -1/2 и найдем ctg a/2:
ctg a/2 = 1 / (-1/2) = -2.

Таким образом, значения sin a/2, cos a/2, tg a/2 и ctg a/2 при условии sin a = -4/5 и альфа принадлежит 3 четверти будут:
sin a/2 = -√[(1 - cos a) / 2],
cos a/2 = 2√5/5,
tg a/2 = -1/2,
ctg a/2 = -2.