Найдите разложения многочленов f(x) и g(x) на неприводимые множители над полями q, r, c.
f(x) = 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) − 3x
^2
;
g(x) = x^3 − x
^2 − 21x + 45.
это как решить?

1) на множестве R и С:

На множестве Q:

.

2) на множестве Q, R и С:

g(x)=(x-3)²(x+5)

Объяснение:

чтобы разложить многочлен axⁿ+bxⁿ⁻¹+cxⁿ⁻2+... на множители, нужно найти его нули и записать разложение в виде: a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)..., где x₁, x₂, x₃, .... - корни (нули) многочлена.

перемножим почленно 1 скобку с 4-й, а 2-ю с 3-й:

Разделим всё уравнение на x²

Делаем замену:

Тогда

Обратная замена:

Разложение на множестве R и C будет следующим:

2) корни x₃ и x₄ не являются рациональными (нельзя представить в виде обыкновенной дроби), тогда

И разложение на множестве Q будет выглядеть:

.

2) Теперь разбираемся со вторым многочленом:

Находим рациональный корень по схеме Горнера.

Путем перебора делителей свободного члена (числа 45) получаем x₁=-5 (см. рисунок)

Таким образом разложение на Q, R и C будет:

g(x)=(x-3)²(x+5)