Найдите промежутки знакопостоянство и нули функции: f(x)=tg 2x/3;
Найдите область определения и область значений функции:

f(x)=1+0,5 sin x/2;

Найдите промежутки возрастания, убывания, точки максимума и минимума функции:
f(x)=4 cos 3x;​

Добрый день! Я рада помочь вам с задачами. Давайте решим по очереди каждую из них.

1. Найдите промежутки знакопостоянство и нули функции: f(x) = tg(2x/3)

Для начала, вспомним основные свойства тангенса. Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике.

Так как у нас функция тангенса, то она будет иметь нули в тех точках, где тангенс равен нулю. Тангенс равен нулю, когда противолежащий катет равен нулю. То есть, когда x = 0, 3π/4, 5π/4, ...

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, нужно посмотреть на знак тангенса в каждом из этих промежутков.
- В промежутке (0, π/4) тангенс является положительным, так как противолежащий катет и прилежащий катет оба положительные числа.
- В промежутке (π/4, π/2) тангенс является отрицательным, так как прилежащий катет положительный, а противолежащий катет отрицательный.
- В промежутке (π/2, 3π/4) тангенс снова положительный, так как и прилежащий, и противолежащий катеты отрицательные.

И так далее. Знакопостоянные промежутки будут чередоваться между положительными и отрицательными значениями тангенса. Пожалуйста, учтите, что это только некоторые примеры промежутков знакопостоянства, их может быть больше.

2. Найдите область определения и область значений функции:
f(x) = 1 + 0.5sin(x/2)

Область определения функции определяется теми значениями x, при которых функция является определенной. В данном случае, функция синуса имеет область определения от -∞ до +∞, то есть фактически функция определена для всех значений x.

Область значений функции определяется теми значениями y, которые могут быть получены при различных значениях x. В данном случае, функция синуса принимает значения от -1 до 1. Значит, область значений функции будет от 1 - 0.5 до 1 + 0.5, то есть от 0.5 до 1.5.

3. Найдите промежутки возрастания, убывания, точки максимума и минимума функции:
f(x) = 4cos(3x)

Промежутки возрастания и убывания функции определяются ее производной. Для этого, найдем производную функции f(x):

f'(x) = -12sin(3x)

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

-12sin(3x) = 0

sin(3x) = 0

Это будет верно, когда 3x = 0, π, 2π, ...

Отсюда получаем, что x = 0, π/3, 2π/3, ...

Точки максимума и минимума функции будут соответствовать переходам от промежутка возрастания к убыванию и наоборот. В данном случае, у нас будет чередование промежутков возрастания и убывания каждые π/3.

Например, на промежутке [0, π/3) функция будет возрастать, так как производная отрицательна, а на промежутке (π/3, 2π/3) функция будет убывать, так как производная положительна.

Теперь мы можем приступить к поиску точек максимума и минимума. В данном случае, максимумы и минимумы будут соответствовать точкам, где функция переходит от возрастания к убыванию или наоборот.

Например, при x = 0, функция начинает возрастать и будет иметь минимум. При x = π/3, функция начинает убывать и будет иметь максимум. И так далее.

Это лишь некоторые примеры промежутков возрастания, убывания, точек максимума и минимума. Пожалуйста, учтите, что их может быть больше.

Я надеюсь, что ясно объяснила каждый шаг и дала детальные ответы на ваши вопросы. Если у вас еще есть вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!