Найдите промежутки монотонности точки экстремумов и экстремумы функции y=6x-x^2

Добрый день! Я рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь вам разобраться с вопросом.

Для начала, давайте запишем заданную функцию: y = 6x - x^2.

Чтобы найти промежутки монотонности точки экстремума и сами экстремумы функции, нам понадобится взять производную функции и проанализировать ее знаки.

Для этого возьмем производную y' от функции y по переменной x:
y' = 6 - 2x.

Теперь посмотрим, при каких значениях x производная равна нулю (то есть, когда функция меняет свой знак) и что происходит до и после этих точек.

Чтобы найти такие значения x, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
6 - 2x = 0,
2x = 6,
x = 3.

Таким образом, мы нашли точку экстремума функции, которая соответствует значению x=3.

Теперь давайте посмотрим, что происходит с функцией до и после этой точки экстремума. Для этого выберем произвольные значения x, меньшие и большие 3, и подставим их обратно в исходную функцию.

Для x < 3:
Пусть, например, x = 2.
Тогда y = 6 * 2 - 2^2 = 12 - 4 = 8.
Получили значение y = 8.

Для x > 3:
Пусть, например, x = 4.
Тогда y = 6 * 4 - 4^2 = 24 - 16 = 8.
Опять получили значение y = 8.

Мы видим, что для значений x < 3 и x > 3 функция принимает одно и то же значение y = 8. Это означает, что экстремумом функции является точка (3, 8).

Теперь посмотрим на знак производной до и после точки экстремума.

При x < 3:
Подставим в производную значение x = 2:
y' = 6 - 2 * 2 = 6 - 4 = 2.
Мы получили положительное значение производной (y > 0), что означает возрастание функции до точки экстремума.

При x > 3:
Подставим в производную значение x = 4:
y' = 6 - 2 * 4 = 6 - 8 = -2.
Мы получили отрицательное значение производной (y < 0), что означает убывание функции после точки экстремума.

Итак, мы можем сделать выводы:

1. Точкой экстремума функции y = 6x - x^2 является точка (3, 8).
2. Функция возрастает на промежутке (-∞, 3) и убывает на промежутке (3, +∞).
3. Максимальное значение функции равно y = 8 и достигается в точке (3, 8).

Надеюсь, данный ответ и его обоснование помогут вам лучше понять и решить данную задачу. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их. Удачи!