Найдите производную и постройте график f(x)=x+9/x на отрезке [1/2; 9]

Для начала найдем производную функции f(x)=x+9/x. Для вычисления производной будем использовать правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования частного.

1. Правило дифференцирования суммы:
Если функция f(x) представлена в виде суммы двух функций f(x)= u(x) + v(x), то производная f'(x) будет равна сумме производных этих функций, то есть f'(x) = u'(x) + v'(x).

2. Правило дифференцирования частного:
Если функция f(x) представлена в виде частного двух функций f(x) = u(x) / v(x), то производная f'(x) можно найти по формуле f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v^2(x).

Теперь пошаговое решение:

1. Разобьем интервал [1/2; 9] на несколько подинтервалов, чтобы проанализировать поведение функции на каждом из них.
- Интервал [1/2; 1]: на этом интервале функция f(x) монотонно убывает.
- Интервал (1; 9): на этом интервале функция f(x) монотонно возрастает.

2. Найдем производную функции f(x). Для этого применим правила дифференцирования:

- Для члена x производная равна 1.
- Для члена 9/x применяем правило дифференцирования частного. Так как в знаменателе у нас есть x, его производная будет равна -1/x^2.

Суммируем результаты:
- f'(x) = 1 + (-1/x^2)
- f'(x) = 1 - 1/x^2.

3. Построим график функции f(x)=x+9/x на интервале [1/2; 9].
- Выберем несколько значений x на каждом из интервалов [1/2; 1] и (1; 9].
- Подставим эти значения x в функцию f(x) и найдем соответствующие значения y.
- Построим точки (x,y) на графике.
- Соединим точки линиями, получив график функции f(x).

Обоснование решения:
- Полученная производная f'(x) показывает скорость изменения функции f(x) в каждой точке x.
- Анализ поведения функции f(x) на разных интервалах позволяет определить, как график может выглядеть.
- График функции f(x) позволяет визуально представить изменение функции в зависимости от значения x.

Таким образом, мы находим производную функции f(x) и строим ее график, что позволяет визуализировать и анализировать поведение функции на заданном интервале.