Найдите площади фигур, ограниченных следующими кривыми. постройте соответствующие рисунки по данным; y=x², y=2x², y=2

Хорошо, давайте разберем этот вопрос.

У нас есть две кривые и одна горизонтальная прямая, и нам нужно найти площадь фигур, ограниченных этими кривыми.

Первая кривая y = x², представляет собой параболу, открывающуюся вверх. Запишем это уравнение и построим график на координатной плоскости:

y = x²

Теперь найдем точки пересечения этой кривой с горизонтальной прямой y = 2. Для этого приравняем уравнения и решим полученное уравнение:

x² = 2

Найдем квадратный корень с обеих сторон:

x = ±√2

Таким образом, точки пересечения находятся при x = √2 и x = -√2. Теперь построим эти точки на графике:

```
| *
| *
| *
y | *
| *
| *
| *
|*
|-------x-------
```

Теперь нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² и y = 2. Для этого нужно найти разность между площадью под кривой y = x² и площадью под прямой y = 2.

Площадь под кривой y = x² равна определенному интегралу от x = -√2 до x = √2:

∫[x=-√2 to x=√2] x² dx

Решим этот интеграл:

∫[x=-√2 to x=√2] x² dx = [x³/3] [x=-√2 to x=√2]

Подставим верхний предел √2:

(√2)³/3 - (-√2)³/3

Simplify (упростим) и посчитаем это:

(2√2/3 - (-2√2/3) = 4√2/3 + 4√2/3 = 8√2/3

Теперь найдем площадь под прямой y = 2, основываясь на координатах, где находятся точки пересечения:

S = 2 * (2√2) = 4√2

Теперь найдем разницу в площади между кривой y = x² и прямой y = 2:

8√2/3 - 4√2 = 8√2/3 - 12√2/3 = -4√2/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x², y = 2x² и y = 2, равна -4√2/3.

Примечание: можно было бы также решить эту задачу, используя метод графического анализа, построив график каждой кривой и найдя площадь под кривыми графически, но в данном случае были использованы математические методы для точного вычисления площади.