Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 6х – х^2 и у = 2х.

Хорошо, давай разберемся вместе.

Для начала, давай посмотрим на графики данных функций, чтобы понять, что изображено на плоскости.

Первая функция у = 6х – х^2 представляет собой параболу, которая открывается вниз. Коэффициенты при х^2 и х говорят о том, что парабола смещена вниз на 6 единиц и открывается вниз.

Вторая функция у = 2х представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат и имеющую положительный наклон (2).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями, нам нужно найти точки их пересечения. Так как парабола и прямая заданы в виде уравнений, мы можем приравнять их и решить полученное уравнение, чтобы найти х-координаты точек пересечения.

Приравняем 6х – х^2 к 2х:
6х – х^2 = 2х

Теперь объединим все подобные слагаемые:
6х - 2х = х^2
4х = х^2

Мы получили квадратное уравнение. Чтобы решить его, приведем его к стандартному виду:
х^2 - 4х = 0

Факторизуем уравнение:
х(х - 4) = 0

Теперь можно найти значения х:
1. х = 0
2. х - 4 = 0 -> х = 4

Таким образом, мы получили две х-координаты точек пересечения функций: х = 0 и х = 4.

Теперь подставим эти значения х обратно в одно из уравнений для нахождения у-координат точек пересечения. Возьмем уравнение у = 2х:
1. При х = 0: у = 2 * 0 = 0
2. При х = 4: у = 2 * 4 = 8

Таким образом, точки пересечения функций имеют координаты (0, 0) и (4, 8).

Теперь для нахождения площади фигуры, ограниченной этими функциями, нам нужно взять определенный интеграл от одной функции до другой. В данном случае мы берем интеграл от функции у = 2х до функции у = 6х – х^2. Таким образом, площадь фигуры будет равна:

S = ∫(2х - (6х – х^2))dx

Раскроем скобки и выполним интегрирование:
S = ∫(2х - 6х + х^2)dx
S = ∫(x^2 - 4х)dx

Для интегрирования многочлена вида у = ax^n мы используем следующие свойства:
∫ax^n dx = (a/(n+1)) * x^(n+1) + C

Применяем это свойство к нашему уравнению:
S = (1/3)x^3 - 2х^2 + C

Теперь нам нужно найти значение этого интеграла на интервале от х = 0 до х = 4, чтобы получить конечную площадь фигуры.

S = (1/3) * 4^3 - 2 * 4^2 - [(1/3) * 0^3 - 2 * 0^2]
S = (1/3) * 64 - 2 * 16 - 0
S = 64/3 - 32
S = 64/3 - 96/3
S = -32/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х – х^2 и у = 2х, равна -32/3 или приблизительно -10.67 квадратных единиц.

Важно знать, что данная площадь отрицательна, потому что в данном случае парабола находится выше прямой и интересующая нас фигура находится под осью х. Это значит, что площадь считается с отрицательным знаком.

Это подробное пошаговое решение должно помочь школьнику понять, как найти площадь фигуры, ограниченной данными функциями.