Найдите первообразную для следующих функций, проходящую через точку М:
А) f(x) = 4x^3 + 10x -9, M(3; 15)

Для нахождения первообразной функции f(x) = 4x^3 + 10x - 9, проходящей через точку М(3; 15), мы будем использовать метод интегрирования.

Шаг 1: Найдите первообразную полинома 4x^3 + 10x - 9 по очереди для каждого его слагаемого.

Для слагаемого 4x^3, мы знаем, что производная x^n равна (n+1)x^(n+1)/n. В данном случае, n = 3, так что производная равна (3+1)x^(3+1)/3 = 4x^4/3.
Таким образом, первообразная для 4x^3 равна (4x^4/3)/4 = x^4/3.

Для слагаемого 10x, производная x^n равна (n+1)x^(n+1)/n. В данном случае, n = 1, так что производная равна (1+1)x^(1+1)/1 = 2x^2.
Таким образом, первообразная для 10x равна 2x^2.

Для слагаемого -9, производная константы равна 0, так что первообразная для -9 равна -9x.

Шаг 2: Объедините все полученные первообразные для каждого слагаемого, чтобы получить первообразную функцию для исходной функции f(x).

Первообразная для исходной функции f(x) будет равна сумме первообразных для каждого слагаемого:
F(x) = x^4/3 + 2x^2 - 9x + C,

где C - произвольная постоянная.

Шаг 3: Найдите значение константы C, используя точку M(3; 15), через которую должна проходить первообразная функция.

Подставим значения x = 3 и F(x) = 15 в первообразную функцию:
15 = (3^4/3) + 2(3^2) - 9(3) + C,
15 = 81/3 + 18 - 27 + C,
15 = 27 + 18 - 27 + C,
15 = 18 + C.

Из этого можно найти значение C:
C = 15 - 18,
C = -3.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 4x^3 + 10x - 9, проходящая через точку М(3; 15), равна:
F(x) = x^4/3 + 2x^2 - 9x - 3.