Найдите область определения функции f(x)=x+2/x^2+x-20

Чтобы найти область определения функции f(x) = (x+2)/(x^2+x-20), необходимо определить значения x, при которых функция имеет смысл, то есть существует и не является бесконечностью. У функции могут быть два типа ограничений: деление на ноль и корень из отрицательного числа.

Деление на ноль не допустимо в математике, поэтому необходимо исключить значения x, при которых выполняется x^2 + x - 20 = 0. Чтобы решить это квадратное уравнение, можно использовать факторизацию или квадратное уравнение.

1. Факторизация:
Для того чтобы факторизовать уравнение x^2 + x - 20 = 0, ищем два числа, которые при умножении дают -20, а при сложении дают 1 (коэффициент перед x). Такими числами будут -4 и 5. То есть, можно представить уравнение в виде (x - 4)(x + 5) = 0.

Теперь мы можем переписать уравнение:
(x - 4)(x + 5) = 0

Чтобы найти значения x, подставим каждое из значений обратно в функцию f(x) и проверим, существует ли деление на ноль.

- При x = 4: f(4) = (4 + 2)/(4^2 + 4 - 20) = 6/0 - деление на ноль
- При x = -5: f(-5) = (-5 + 2)/((-5)^2 - 5 - 20) = -3/0 - деление на ноль

Таким образом, значения x = 4 и x = -5 не являются частью области определения функции f(x).

2. Решение квадратного уравнения:
Можно также использовать расчет дискриминанта, чтобы найти корни квадратного уравнения x^2 + x - 20 = 0.

Дискриминант (D) равен b^2 - 4ac, где a = 1, b = 1 и c = -20.
D = (1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81

Поскольку дискриминант положительный, то уравнение имеет два действительных корня.
x = (-b ± √D) / 2a

x = (-1 ± √81) / 2(1)
x = (-1 ± 9) / 2
Два решения: x = 4 и x = -5.

Теперь мы можем снова переписать уравнение:
(x - 4)(x + 5) = 0

Подставим каждое из значений обратно в функцию f(x) и проверим, существует ли деление на ноль.

- При x = 4: f(4) = (4 + 2)/(4^2 + 4 - 20) = 6/0 - деление на ноль
- При x = -5: f(-5) = (-5 + 2)/((-5)^2 - 5 - 20) = -3/0 - деление на ноль

Таким образом, значения x = 4 и x = -5 не являются частью области определения функции f(x).

Область определения функции f(x) = (x+2)/(x^2+x-20) - это множество всех действительных чисел, кроме х = 4 и х = -5, так как функция не имеет смысла при данных значениях.