Найдите наименьшее значения произведения p=cosxcosycos(x+y)

Ответы

jemalka99 15.07.2020 07:22

$P=cosx*cosy*cos(x+y)\\ 
 


$
Рассмторим треугольник a,b,c

, положим что он существует
Впишем углы x;y

По теореме косинусов выразим углы
$cosy=\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\\ 
cosx=\frac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}\\ 
$
$cos(x+y)=\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}$
$\frac{1}{8}*\frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{a^2b^2c^2}$
То есть надо найти такое число , если оно существует , что
$\frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{a^2b^2c^2}$
является дробной числом,то есть переходим к нахождению минимального значения этой дроби .
Теперь
по неравенству о средних
$\frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{11} =$ $\frac{a^6+b^6+c^6+a^4(-b^2-c^2)+b^4(-a^2-c^2)+c^4(-a^2-b^2)+a^2b^2c^2+a^2b^2c^2}{11}\geq$ $\sqrt[11]{a^{22}*b^{22}*c^{22}}=-a^2b^2c^2$
то есть получим
$min \frac{1}{8}*-1=-\frac{1}{8}$ , причем выполняется тогда когда a=b=c

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

ambasaddor 15.07.2020 07:22

Преобразуем функцию:
P=cosx*cosy*cos(x+y)=1/2* (сos(x+y) +cos(x-y))*cos(x+y)=
1/2*(cos^2(x+y)+cos(x+y)*cos(x-y))=1/4*( (cos(2x+2y)+1+cos(2y)+cos(2x))
Возьмем производную по x и приравняем к нулю:
-1/2*(sin(2x+2y)+sin(2x))=0
sin(2x+2y)+sin2x=0
sin(2x+y)*siny=0
Очевидно что минимум будет когда:
sin(2x+y)=0
2x+y=π*n
y=π*n-2x (Тк функция симметричная то рассматривать производную по у не имеет смысла)
Это минимум функции при произвольно взятой константе y. То чтобы найти наименьшее значение всей функции,нужно найти наименьшее из наименьших значений при разных y.
И так подставляя наш результат в исходную функцию применив формулы приведения получим:
P=1/4*(1+cos2x+cos(-2x+π*n)+cos(-x+π*n))=
1/4*(1+2*cos(2x)+cos(4x))=1/4*(1+2*cos(2x)+2*cos^2(2x)-1)=
1/2*(cos^2(2x)+cos(2x))
пусть : сos(2x)=w |w|<=1
P=1/2*(w^2+w)
w^2+w-парабола с вершина wв=-1/2 |w|<1 (верно) значит в этой точке и будет минимум тк ветви идут вверх.
Откуда: min(P)=1/2*(1/4-1/2)=-1/8
ответ:-1/8

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра