Найдите наименьшее значение функции y=(x-9)^{2}(x+4)-4 на отрезке [7; 16] заранее

–4

Объяснение:

Стандартный алгоритм нахождения наименьшего значения функции y=f(x) на отрезке [a; b] следующее:

1) находим критические точки функции, которые входят в заданный отрезок [a; b], то есть найдем производную функции f(x) и находим нули производной на отрезке [a; b] (решаем уравнение f '(x)=0);

2) вычислим значения функции f(x) для критических точек из отрезка [a; b] и для граничных значений a и b;

3) ответом будут наименьшее значение среди полученных значений функции.

Дана функция y = (x–9)²·(x+4)–4 и отрезок [7; 16].

1) находим критические точки функции:

y'=((x–9)²·(x+4)–4)'=((x–9)²)'·(x+4)+(x–9)²·(x+4)'–(4)'=

=2·(x–9)²⁻¹·(x+4)+(x–9)²·1–0=2·(x–9)·(x+4)+(x–9)²=

=(x–9)·(2·x+8+x–9)=(x–9)·(3·x–1)

y'=0 ⇔ (x–9)·(3·x–1)=0 ⇔ x=9 ∈ [7; 16], x=1/3 ∉ [7; 16].

2) вычислим значения функции f(x) для критической точки x=9,  граничных точек x=7 и x=16:

y(7)= (7–9)²·(7+4)–4 = 4·11–4 = 44–4 = 40

y(9)= (9–9)²·(9+4)–4 = 0·13–4 = –4

y(16)= (16–9)²·(16+4)–4 = 49·20–4 = 980–4 = 976

Среди найденных значений выбираем наименьшее, то есть:

y(9) = –4.