Найдите наименьшее значение функции y=8-2√x^2+64

У=72-2√х^2
у=72-2|х|
2|х|=72-у

Для нахождения наименьшего значения функции, мы должны найти её минимум.

Выражение функции выглядит следующим образом: y = 8 - 2√(x^2 + 64).

Давайте разберёмся по шагам, как найти минимум функции.

Шаг 1: Найдите экстремумы функции, то есть точки, где производная равна нулю или не существует.
Чтобы найти производную функции, возьмём производную каждого члена по отдельности и применим правила дифференцирования к каждому члену.

Производная первого члена 8 равна нулю, так что её можно опустить.
Производная второго члена -2√(x^2 + 64) равна -2/(2*√(x^2 + 64)), или -1/√(x^2 + 64).
Производная третьего члена 64 равна нулю.

Шаг 2: Приравняйте производную к нулю и решите это уравнение.

-1/√(x^2 + 64) = 0

Умножим обе части уравнения на √(x^2 + 64), чтобы избавиться от знаменателя:

-1 = 0

Это уравнение не имеет решений, так как -1 никогда не будет равняться нулю.

Шаг 3: Проверьте концы интервала.

Причина, по которой мы проверяем концы интервала, заключается в том, что функция может иметь минимум или максимум на границах заданного интервала.

Мы можем проверить значения функции при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности.

Как только x стремится к плюс или минус бесконечности, √(x^2 + 64) также будет стремиться к плюс бесконечности.

Возвращаемся к исходному уравнению: y = 8 - 2√(x^2 + 64).

Когда √(x^2 + 64) стремится к плюс бесконечности, вычитание 2√(x^2 + 64) затрагивает наименьшее значение функции.

Таким образом, мы можем сказать, что наименьшее значение функции составляет 8.

Ответ: Наименьшее значение функции y=8-2√x^2+64 равно 8.