НАЙДИТЕ наименьшее значение функции e^2x -14e^x- 2 на отрезке [0;2]

y(ln 7) = -51

Объяснение:

y = e^(2x) - 14e^x - 2; x € [0; 2]

Найти наименьшее значение.

Сначала найдем значения на концах отрезка:

y(0) = e^0 - 14*e^0 - 2 = 1 - 14 - 2 = - 15

y(2) = e^4 - 14*e^2 - 2 ≈ 54,6 - 103,45 - 2 = -50,85

Теперь найдем экстремум, приравняв производную к 0.

y' = 2e^(2x) - 14e^x = 0

2e^x*(e^x - 7) = 0

e^x > 0 при любом х, поэтому единственный корень:

e^x = 7

x = ln 7 ≈ 1,946 € [0; 2]

y(ln 7) = e^(2ln 7) - 14*e^(ln 7) - 2 = e^(ln 49) - 14*e^(ln 7) - 2 = 49 - 14*7 - 2 = -51

Это и есть точка минимума.