Найдите наименьшее положительное значение x , удовлетворяющее неравенству.

[x]² - x*[x] + 3 ≤ 0

наименьшее положительное решение найти

x > 0

заметим что любое положительное целое значение х не решение, так как [x]² - x*[x] = 0 и 3 > 0

Немного пугает квадрат первого члена и хочется решить квадратное уравнение, но это не так. Так как [x] и [x]² это целые числа, а не переменные и у нас линейная зависимоть

[x] <= x

x = [x] + {x} целая и дробная части

0 ≤ {x} < 1

теперь будем оценивать неравенство

[x]² - x*[x] + 3 ≤ 0

[x]² + 3 ≤  x*[x]

([x]² + 3)/[x] ≤  x

имеем право [x] = 0 когда 0≤ x < 1  тогда  [x]² - x*[x] = 0 и 3 > 0 не корень

[x] + 3/[x] ≤ x

x - [x] ≥ 3/[x]

{x} ≥ 3/[x]

0 ≤ {x} < 1 значит 3/[x] < 1   [x} ≥ 4 но минимум [х] = 4 то есть 4 < x < 5

{x} ≥ 3/4

{x} = 3/4 минимум

x = [x] + {x} = 4 + 3/4 = 4 3/4 = 4.75

проверяем

[4.75]² - 4.75*[4,75] + 3 = 16 - 19 + 3 = 0 ≤ 0 да

для надежности проверим два ближайших числа 4,74 и 4.76

[4.74]² - 4.74*[4,74] + 3 = 16 - 18.96 + 3 = 0.04 > 0

[4.76]² - 4.76*[4,76] + 3 = 16 - 19.04 + 3 = -0.04 < 0

ответ 4.75