Найдите наименьшее из целых значений a, при которых уравнение (x−a)(x+8)+5=0 имеет хотя бы один целый корень.

Ответы

PesBarboss 10.10.2020 08:09

Если раскрыть скобки, то получим квадратное уравнение с параметром а. Но делать мы этого не будем. Просто вспомним, что решение квадратного уравнения это

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

То есть если один корень будет рациональным, то и второй тоже. Ситуации, что один корень будет иррациональным, а второй нет - невозможна. Поэтому задача становится решить исходное уравнение в целых числах и определить то самое а по условию.

(x-a)(x+8)=-5

Произведение двух чисел равно 5. Это будет тогда, когда одно из них равно 5 по модулю, а второе 1 по модулю (все это потому что 5 - простое число и его делители это 1 и 5 со знаками). При этом у них должны быть разные знаки. То есть получаем 4 случая => 4 аналогичные системы (все они в совокупности), из которых мы и найдем а.

$$1) \left \{ {{x-a=1} \atop {x+8=-5}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a=-14} \atop {x=-13}} \right.$

$$2)\left \{ {{x-a=-1} \atop {x+8=5}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a=-2} \atop {x=-3}} \right.$

$$3)\left \{ {{x-a=5} \atop {x+8=-1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a=-14} \atop {x=-9}} \right.$

$$4)\left \{ {{x-a=-5} \atop {x+8=1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a=-2} \atop {x=-7}} \right.$

Здесь, кстати, ничего удивительного. У уравнения два корня, просто для одного корня, например, первая скобка равна 1, а вторая равна -5. А для второго корня первая скобка равна 5, а вторая -1. И это все при одном значении параметра.

В итоге у нас есть 2 подходящих значения параметра

a=-14, a=-2. Выбираем наименьшее из них, это a=-14.

ответ: -14.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра