Найдите наименьшее и наибольшее значение функции : y=2(x-1)2 а) на отрезке [0; 2} б) на луче (-бесконечность; 1) в) на луче[0; +бесконечность) г) на отрезке [1; 2] все нужно расписать

Сначала находим производную, приравниваем ее к нулю, находим рули производной, дальше на фото

Давайте рассмотрим каждую часть вопроса по отдельности и найдем наименьшее и наибольшее значения функции в каждом случае.

а) На отрезке [0, 2]:
Для начала заметим, что данная функция представляет собой параболу, открытую вверх, так как коэффициент при квадрате (2) положителен.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке, нам нужно найти значения функции на его концах (то есть, при x=0 и x=2), а также значение функции в вершине параболы.

1) Подставим x=0:
y = 2(0-1)²
y = 2(-1)²
y = 2 • 1
y = 2

2) Подставим x=2:
y = 2(2-1)²
y = 2(1)²
y = 2 • 1
y = 2

Обратите внимание, что значение функции одинаково на концах отрезка [0, 2].

Теперь найдем значение функции в вершине параболы. Для этого используем формулу -b/(2a), где a и b - коэффициенты при x² и x соответственно.

В данном случае a=2 и b=0, так как перед x нет коэффициента.
x = -b/(2a)
x = -0/(2 • 2)
x = 0
Таким образом, вершина параболы находится при x=0.

Теперь найдем значение функции в этой вершине:
y = 2(0-1)²
y = 2(-1)²
y = 2 • 1
y = 2

Таким образом, наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [0, 2] равно 2.

б) На луче (-∞, 1):
Здесь нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции на всем луче, то есть, взять предел функции при x, стремящемся к -∞ и +∞.

1) Предел функции при x, стремящемся к -∞:
lim (x→-∞) 2(x-1)²
lim (x→-∞) 2(x²-2x+1)
lim (x→-∞) (2x²-4x+2)
Так как коэффициент при x² положителен, то предел функции на луче (-∞, 1) равен +∞.

2) Предел функции при x, стремящемся к +∞:
lim (x→+∞) 2(x-1)²
lim (x→+∞) 2(x²-2x+1)
lim (x→+∞) (2x²-4x+2)
Так как коэффициент при x² положителен, то предел функции на луче (-∞, 1) равен +∞.

Таким образом, наименьшего и наибольшего значения функции на луче (-∞, 1) нет, так как функция стремится к +∞ на всем луче.

в) На луче [0, +∞):
Здесь нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции на всем луче, то есть, взять предел функции при x, стремящемся к +∞.

1) Предел функции при x, стремящемся к +∞:
lim (x→+∞) 2(x-1)²
lim (x→+∞) 2(x²-2x+1)
lim (x→+∞) (2x²-4x+2)
Так как коэффициент при x² положителен, то предел функции на луче [0, +∞) равен +∞.

Таким образом, наименьшего и наибольшего значения функции на луче [0, +∞) нет, так как функция стремится к +∞ на всем луче.

г) На отрезке [1, 2]:
Аналогично случаю с отрезком [0, 2] мы найдем значения функции на концах отрезка, а также значение функции в вершине параболы.

1) Подставим x=1:
y = 2(1-1)²
y = 2(0)²
y = 2 • 0
y = 0

2) Подставим x=2:
y = 2(2-1)²
y = 2(1)²
y = 2 • 1
y = 2

Заметим, что функция на этом отрезке убывает от 2 до 0.

Теперь найдем значение функции в вершине параболы:
x = -b/(2a)
x = -0/(2 • 2)
x = 0
Таким образом, вершина параболы находится при x=0.

Теперь найдем значение функции в этой вершине:
y = 2(0-1)²
y = 2(-1)²
y = 2 • 1
y = 2

Таким образом, наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [1, 2] равно 0 и 2 соответственно.