1. Алгебра
  2. Найдите наибольшую площадь трапеции

Найдите наибольшую площадь трапеции и ее периметр, если три стороны трапеции равны а (через производную)

mail000alomer mail000alomer    2   12.08.2020 07:02    9

Ответы
саша080706 саша080706  15.10.2020 15:51

Пусть ABCD — трапеция. Так как AB=BC=CD=a, то эта трапеция равнобедренная. Опустим перпендикуляр BH к большему основанию AD. Из прямоугольного треугольника ABH:

BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{AD-BC}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{AD-a}{2}\right)^2}

S=\dfrac{AD+a}{2}\cdot \sqrt{a^2-\dfrac{\big(AD-a\big)^2}{4}}

Обозначим AD=x и рассмотрим функцию S(x)=\dfrac{x+a}{2}\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}

S'(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}+\dfrac{x+a}{2}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}\cdot\left(-\dfrac{x-a}{2}\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}+\dfrac{a^2-x^2}{4}}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}=\dfrac{a^2+\dfrac{2ax-2x^2}{4}}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}=0\\ \\ \\ 2a^2+ax-x^2=0\\ \\ x^2-ax-2a^2=0\\ \\ D=a^2+8a^2=9a^2;~~\sqrt{D}=8a

x_1=\dfrac{a+3a}{2}=2a;~~~ x_2=\dfrac{a-3a}{2}=-a

Значение x_2, можем отбросить. Функцию S(x) мы исследуем на промежутке решения неравенства a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}\geq0 и a0.

(x-a)^2\leq 4a^2\\ \\ -2a\leq x-a\leq 2a\\ \\ -a\leq x\leq 3a\cup a0~~\Rightarrow~~ 0

(0)_____+___(2a)___-____(3a)

В точке x=2a функция S(x) имеет наибольшее значение и равна S(2a)=\dfrac{2a+a}{2}\cdot \sqrt{a^2-\dfrac{(2a-a)^2}{4}}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{4}

Периметр трапеции: P=a+a+a+2a=5a

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
сонечка281006 сонечка281006  19.10.2020 04:16
надо запишите выражения 1) a-b+1 в виде разности с уменьшаемым a;2) a-2b+8 в виде суммы двух слагаемых одно из которых равно 8;​...
ProPython ProPython  19.10.2020 04:16
Внести множник під знак кореня сделайте...
Superymniaha Superymniaha  19.10.2020 04:16
Найдите большую сторону параллелограмма, если периметр его равен 148 и стороны относятся как 12,25​...
munur munur  15.06.2019 07:30
Встречаются двое. один младше другого. младший спрашивает второго. сколько вам лет, старший спрашивает а сколько тебе лет. младший отвечает мне 25 лет. старший говорит...
Гена102 Гена102  15.06.2019 07:30
Выражение и найдите его значение: а) 3 (5х-1)-14 (х+8) при х = 172 б) 15а-3(2а-1)+2 (а-2) при а= -3 в) -11b+ 5 (2b-1)-6 (b+2) при b = -4 !...
margaret1967m margaret1967m  15.06.2019 07:30
Вычислите cos п/6 * cos п/4 * cos п/3 * cosп/2...
erro14 erro14  15.06.2019 07:30
При каком значении m уравнения x^2+mx+8=0 и x^2+x+m=0 имеют общий корень?...
таня1697 таня1697  15.06.2019 07:30
На вид постое ,,но решить не могу, -7x^2+4x+3 меньше 0...
danilnikitin624 danilnikitin624  15.06.2019 07:30
Представьте выражение x⁵·x⁸/x⁻² в виде степени с основанием x...
Ramzi085 Ramzi085  05.06.2019 08:22
Найдите область определения функции[tex]y = \sqrt{7x - 14} - \sqrt{x^{2} - 15x + 56} [/tex]​...

Популярные вопросы