Найдите наибольшее значение функции f(x)=20tgx-20x+5π+8 на отрезке [-π/4 ; π/4]

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-π/4 ; π/4], нужно найти ее максимальное значение на этом отрезке. Для этого найдем точки, где производная функции равна нулю или не существует:

f'(x) = 20(sec^2 x - 1) - 20

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

20(sec^2 x - 1) - 20 = 0

sec^2 x = 2

cos^2 x = 1/2

cos x = ±√(1/2) = ±1/√2

x1 = π/4, x2 = -π/4

Точки экстремума функции f(x) находятся в точках x1 = π/4 и x2 = -π/4. Теперь нужно сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка:

f(-π/4) = 20tg(-π/4) - 20(-π/4) + 5π + 8 ≈ 60.98

f(π/4) = 20tg(π/4) - 20(π/4) + 5π + 8 ≈ 66.17

f(x1) = 20tg(π/4) - 20(π/4) + 5π + 8 ≈ 66.17

f(x2) = 20tg(-π/4) - 20(-π/4) + 5π + 8 ≈ 60.98

Наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-π/4 ; π/4] равно приблизительно 66.17 и достигается в точке x1 = π/4.

Объяснение: