Алгебра: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: [tex]y = ln(2x - 1) + 2ln(8 - x)[/tex]на отрезке [1; 7]

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции:
$y = ln(2x - 1) + 2ln(8 - x)$
на отрезке [1; 7]

Ответы

MDI1 11.01.2024 11:47

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Определить область определения функции.
Область определения функции определяется значениями аргументов функции, при которых функция имеет смысл. В данном случае, логарифмические функции $ln(2x - 1)$ и $ln(8-x)$ определены только для положительных аргументов. Таким образом, область определения функции состоит из всех значений x, для которых $2x - 1>0$ и $8-x>0$ . Решим это неравенство:
$2x - 1 > 0$
$2x > 1$
$x > \frac{1}{2}$

$8 - x > 0$
$x < 8$

Получаем, что область определения функции на отрезке [1; 7] равна $\left(\frac{1}{2}; 7\right]$ .

Шаг 2: Найти производную функции.
Чтобы найти экстремумы (наибольшее и наименьшее значения) функции, нужно найти производную функции и найти ее корни. Рассчитаем производную функции $y'$ с помощью правила дифференцирования функций суммы и произведения:

$y' = \left(ln(2x - 1)\right)' + \left(2ln(8 - x)\right)'$
$y' = \left(\frac{1}{2x - 1}\right) \cdot (2) + \left(\frac{2}{8 - x}\right) \cdot (-1)$
$y' = \frac{2}{2x - 1} - \frac{2}{8 - x}$

Шаг 3: Решить уравнение $y' = 0$ для определения критических точек.
Чтобы найти экстремумы, необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Подставим $y' = 0$ и решим это уравнение:

$\frac{2}{2x - 1} - \frac{2}{8 - x} = 0$

Упростим это уравнение:

$\frac{2(8 - x) - 2(2x - 1)}{(8 - x)(2x - 1)} = 0$
$\frac{16 - 2x - 4x + 2}{(8 - x)(2x - 1)} = 0$
$\frac{18 - 6x}{(8 - x)(2x - 1)} = 0$

Так как дробь равна нулю только если числитель равен нулю, получаем уравнение:

$18 - 6x = 0$
$6x = 18$
$x = 3$

Таким образом, критическая точка функции находится в точке x = 3.

Шаг 4: Определить конечные точки отрезка.
Наибольшее и наименьшее значение функции также может быть достигнуто на конечных точках отрезка [1; 7]. Поэтому нужно вычислить значения функции в этих точках:

$y(x = 1) = ln(2 \cdot 1 - 1) + 2 \cdot ln(8 - 1) = ln(1) + 2 \cdot ln(7) = 2ln(7)$
$y(x = 7) = ln(2 \cdot 7 - 1) + 2 \cdot ln(8 - 7) = ln(13) + 2 \cdot ln(1) = ln(13)$

Шаг 5: Определить значение функции в критической точке.
Теперь нужно вычислить значение функции в критической точке x = 3:

$y(x = 3) = ln(2 \cdot 3 - 1) + 2 \cdot ln(8 - 3) = ln(5) + 2 \cdot ln(5) = ln(5) + ln(25) = ln(125)$

Шаг 6: Сравнить значения функции в найденных точках.
Теперь сравним значения функции в точках x = 1, x = 3 и x = 7, а также граничные значения на отрезке [1; 7]. Найденные значения функции:

[y(x = 1) = 2ln(7)]
[y(x = 3) = ln(125)]
[y(x = 7) = ln(13)]

Граничные значения:

[y(x = 1) = 2ln(7)]
[y(x = 7) = ln(13)]

Таким образом, наибольшее значение функции равно ln(125) и достигается в точке x = 3, а наименьшее значение функции равно 2ln(7) и достигается в точке x = 1.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра