Найдите множество значений функции f(x)= -x^4-2x^2+8

Добрый день! С удовольствием помогу вам решить этот математический вопрос.

Для того чтобы найти множество значений функции f(x) = -x^4 - 2x^2 + 8, мы должны понять, как меняется значение функции при изменении переменной x. Для этого мы можем использовать метод анализа знака функции.

Шаг 1: Найдем критические точки функции. Критическая точка - это точка, в которой производная функции равна нулю или не существует. В данном случае, нам нужно найти производную функции f(x).

f'(x) = -4x^3 - 4x

Для того чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения:

-4x^3 - 4x = 0

Тут мы можем вынести общий множитель -4x:

-4x(x^2 + 1) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения x: x = 0 или x^2 + 1 = 0. Но заметим, что уравнение x^2 + 1 = 0 не имеет действительных корней, так как квадрат любого реального числа всегда положителен (или равен 0) и поэтому прибавление 1 к квадрату числа не может быть равно 0. Таким образом, у нас остается только одна критическая точка x = 0.

Шаг 2: Определим, как изменяется функция в интервалах между критическими точками.

Выберем тестовую точку в каждом интервале и подставим ее в функцию f(x). Если значение функции положительно, то весь интервал положителен. Если значение функции отрицательно, то весь интервал отрицателен.

Выберем тестовую точку перед критической точкой x = 0, например, x = -1:

f(-1) = -(-1)^4 - 2(-1)^2 + 8
= -1 - 2 + 8
= 5

Значение функции f(-1) = 5 положительное, следовательно, весь интервал перед критической точкой x = 0 положителен.

Выберем тестовую точку после критической точки x = 0, например, x = 1:

f(1) = -(1)^4 - 2(1)^2 + 8
= -1 - 2 + 8
= 5

Значение функции f(1) = 5 также положительное, следовательно, весь интервал после критической точки x = 0 тоже положителен.

Шаг 3: Объединим результаты интервалов для получения множества значений функции.

Мы знаем, что функция положительна как до критической точки x = 0, так и после нее. Значит, множество значений функции f(x) = -x^4 - 2x^2 + 8 равно всем действительным положительным числам.

Вот и все! Надеюсь, объяснение было понятным и полезным. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!