Найдите коэффициенты при х^3 у многочлена Р(х) = (х + 5)^5 –(2х + 1)^4​

Р(3) =(3+5) ^5 - (2*3+1) ^4=8^5-7^4=32768-2401=30367

Давайте найдем коэффициент при x^3 в многочлене P(x) = (x + 5)^5 – (2x + 1)^4.

Для начала, раскроем скобки в обоих частях выражения:

P(x) = (x + 5)(x + 5)(x + 5)(x + 5)(x + 5) – (2x + 1)(2x + 1)(2x + 1)(2x + 1)

Теперь нам нужно определить, какие слагаемые приводят к появлению степени x^3 в многочлене.

В первой части выражения мы получим мономы, в которых будет произведение 5 слагаемых, выбранных из скобок (x + 5). Так как x^3 будет появляться в трех мономах, мы должны выбрать первоначальные слагаемые с x^2, x и константный член.

Коэффициент при x^2 в первой части будет равен C(5,1) * 5 * 5^2 = 5 * 5^2 = 125. Здесь C(5,1) - это число сочетаний, означающее сколько вариантов выбрать 1 слагаемое из 5, то есть C(5,1) = 5.

Коэффициент при x в первой части будет равен C(5,2) * 5^2 * 5 = 10 * 5^2 * 5 = 1250. Здесь C(5,2) - это число сочетаний, означающее сколько вариантов выбрать 2 слагаемых из 5, то есть C(5,2) = 10.

Коэффициент при константном члене в первой части будет равен C(5,3) * 5 * 5^2 = 10 * 5 * 5^2 = 250.

Теперь посмотрим на вторую часть выражения. Мы должны выбрать слагаемые из скобки (2x + 1), чтобы получить x^3 в итоговом многочлене.

Коэффициент при x^2 во второй части будет равен C(4,1) * 1 * (2x)^2 = 4 * 1 * 4x^2 = 16x^2. Здесь C(4,1) - это число сочетаний, означающее сколько вариантов выбрать 1 слагаемое из 4, то есть C(4,1) = 4.

Коэффициент при x во второй части будет равен C(4,2) * 1 * 2x = 6 * 1 * 2x = 12x. Здесь C(4,2) - это число сочетаний, означающее сколько вариантов выбрать 2 слагаемых из 4, то есть C(4,2) = 6.

Коэффициент при константном члене во второй части будет равен C(4,3) * 1 * (2x)^2 = 4 * 1 * 4x^2 = 16x^2.

Теперь суммируем все найденные коэффициенты:

125 * x^2 + 1250 * x + 250 - 16x^2 - 12x - 16x^2 = 109 * x^2 - 12 * x + 250.

Итак, коэффициенты при x^3 в исходном многочлене P(x) равны 0, так как их сумма равна нулю (125 * x^2 - 16x^2 - 16x^2 = -47 * x^2), а 109 * x^2 - 12 * x + 250 - (-47 * x^2) = 109x^2 - 12x + 47x^2 + 250 = 156x^2 + 238 = 0.