Найдите интервал монотонности и точки экстремума функции y=2x^3 - 3x^2 - 4

Для начала найдем производную функции y = 2x^3 - 3x^2 - 4.
Производная функции может сказать нам о ее поведении и позволит найти интервалы, где функция монотонно убывает или возрастает, а также точки экстремума.

Итак, найдем производную функции y = 2x^3 - 3x^2 - 4:

y' = (2*3)x^(3-1) - (3*2)x^(2-1) - 0
= 6x^2 - 6x

Теперь нужно найти значения x, при которых производная равна нулю:

6x^2 - 6x = 0

Вынесем общий множитель:

6x(x - 1) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения x, при которых производная равна нулю: x = 0 и x = 1.

Теперь рассмотрим три интервала:
1) От минус бесконечности до x = 0;
2) От x = 0 до x = 1;
3) От x = 1 до плюс бесконечности.

Для каждого из этих интервалов определим знак производной и таким образом узнаем, является ли функция на этом интервале монотонной.

Для интервала 1: от минус бесконечности до x = 0
Подставим в производную значение x, меньшее 0, например, x = -1:
6(-1)^2 - 6(-1) = 12 > 0

Так как производная положительна, то функция y = 2x^3 - 3x^2 - 4 возрастает на интервале (-∞, 0).

Для интервала 2: от x = 0 до x = 1
Подставим в производную значение x, лежащее между 0 и 1, например x = 0.5:
6(0.5)^2 - 6(0.5) = -1.5 < 0

Так как производная отрицательна, то функция y = 2x^3 - 3x^2 - 4 убывает на интервале (0, 1).

Для интервала 3: от x = 1 до плюс бесконечности
Подставим в производную значение x, большее 1, например, x = 2:
6(2)^2 - 6(2) = 12 > 0

Так как производная положительна, то функция y = 2x^3 - 3x^2 - 4 возрастает на интервале (1, ∞).

Точки экстремума функции соответствуют значениям x, при которых производная равна 0. Мы уже нашли две таких точки x = 0 и x = 1. Чтобы найти соответствующие значения функции в этих точках, подставим их в исходную функцию:

y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 - 4 = -4
y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 4 = -5

Получаем две точки экстремума: (0, -4) и (1, -5).

Итак, интервалы монотонности:
Функция y = 2x^3 - 3x^2 - 4 возрастает на интервалах (-∞, 0) и (1, ∞), и убывает на интервале (0, 1).

Точки экстремума:
Есть две точки экстремума: (0, -4) и (1, -5). В точке x = 0 функция имеет максимум и равна -4, а в точке x = 1 функция имеет минимум и равна -5.