Найдите десятый член арифметической прогрессии, если сумма первых n членов равна sn=n^2

S2 = 2a1 + d = 2^2,  2a1 + d = 4 - это первое уравнение системы

S3 = 3*(2a1 + 2d)/2,  3(a1 + d) = 3^2,  a1 + d = 3 - это второе уравнение системы

Вычтем из первого уравнения второе: a1 =1, тогда d = 2

Найдем a10:   a10 = a1 + d(10-1) = 1 + 18 = 19 

Сумма членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Sn = (a1+an)*n/2 = n²

где an = a1+d(n-1)

(a1+a1+d(n-1))*n/2 = n*n

(2a1+d(n-1))/2 = n

2a1+dn-d=2n

2a1-d=2n-dn

2a1-d=n(2-d)

при n=1

2a1=2

a1=1

при n=2

2a1-d=4-2d

d=4-2*1=2

a₁₀ = a1+d(10-1)=1+2*9 = 19