Найдите аналитическое выражение для функции f(x), если известно, что 2f(x) + f(1-x) = x^2

Попробуем удовлетворить уравнению функцией вида f(x)=a*x²+b*x+c. Тогда 2*f(x)=2*a*x²+2*b*x+2*c и f(1-x)=a*(1-x)²+b*(1-x)+c. Подставляя эти выражения в уравнение, приходим к уравнению 3*a*x²+x*(b-2*a)+(3*c+a+b)=x². Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, получаем систему уравнений:

3*a=1
b-2*a=0
3*c+a+b=0

Решая её, находим a=1/3, b=2/3, c=-1/3. Значит, f(x)=1/3*x²+2/3*x-1/3. ответ: f(x)=1/3*x²+2/3*x-1/3.