Найди при каком значении параметра n сумма квадратов корней уравнения x2−2nx+52n2+8n=0 будет наибольшей?

Решение

По теореме Виета имеем:  x₁ + x₂ = 2n

x₁ * x₂ = 22n² + 8n

x₁² + x₂² = (x₁+ x₂)² – 2x₁*x₂ = (2n)² – 2*(22n² + 8n) =

= 4n² – 44n² – 16n = - 40n² – 16n

f(n) = - 40n² – 16n

f `(n) = - 80n - 16

- 80n – 16 = 0

80n = - 16

n= - 1/5

D = 4n² – 4*(22n² + 8n) = 4n² – 88n² – 32n = - 84n² – 32n

- 84n² – 32n > 0

- 4n(21n + 8) > 0

4n(21n + 8) < 0

4n(21n + 8) = 0

n₁ = 0

21n + 8 = 0

n₂ = - 8/21

   +               -           +

à

       -8/21             0          x

- 1/5 ∈ [- 8/21; 0]

при значении параметра n = - 1/5 сумма квадратов корней

 уравнения x² − 2nx + 22n² + 8n = 0 будет наибольшей

ответ: n = - 1/5

Объяснение: