Найди наибольшее значение функции y=x/64+x2 на луче [0;+∞).
ответ (вводи в виде сокращённой дроби):

Укажи стационарные точки функции

Чтобы найти наибольшее значение функции y=x/64+x^2 на луче [0;+∞), нам нужно найти точку, в которой значение функции достигает максимума. Для этого мы ищем стационарные точки функции, то есть точки, где производная функции равна нулю.

Шаг 1: Найдем производную функции y=x/64+x^2. Чтобы это сделать, применим правила дифференцирования:

f'(x) = (1/64) + 2x

Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти точки, где производная равна нулю:

(1/64) + 2x = 0

2x = -1/64

x = (-1/64) / 2

x = -1/128

Таким образом, у нас есть одна стационарная точка x = -1/128.

Шаг 3: Найдем значение функции y в этой стационарной точке. Подставим x = -1/128 в исходную функцию:

y=(-1/128)/64+(-1/128)^2

y=-1/8192+1/16384

y=-1/8192+2/32768

y=(2-1)/32768

y=1/32768

Таким образом, значение функции y в стационарной точке x = -1/128 будет равно 1/32768.

Шаг 4: Найдем значение функции y на границе интервала [0;+∞). Подставим x = 0 и проверим значение функции:

y=0/64+0^2

y=0/64+0

y=0

Таким образом, значение функции y на границе интервала [0;+∞) будет равно 0.

Шаг 5: Сравним значения функции y в стационарной точке и на границе интервала, чтобы найти наибольшее значение. Сравним 1/32768 и 0. Очевидно, что 1/32768 больше 0.

Таким образом, наибольшее значение функции y=x/64+x^2 на луче [0;+∞) равно 1/32768.

Стационарные точки функции: x = -1/128.