Наименьшее значение функции y=14x-ln(14x)+8 на отрезке [1/28; 5/28]

Решение во вложении.

Хорошо, начнем с анализа данной функции y=14x-ln(14x)+8 на отрезке [1/28; 5/28].

Шаг 1: Найдем производную функции y=14x-ln(14x)+8. Для этого применим правило дифференцирования функции суммы и разности:
y' = (14x)' - (ln(14x))' + (8)'

Теперь найдем производную каждого слагаемого:

(14x)' = 14
(ln(14x))' = (1/(14x)) * (14x)' = (1/(14x)) * 14 = 1/x
(8)' = 0

Теперь объединим все найденные значения:

y' = 14 - 1/x + 0 = 14 - 1/x

Шаг 2: Найдем критические точки функции, то есть значения x, при которых производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем y' к нулю и решим полученное уравнение:

14 - 1/x = 0

Перенесем 1/x на другую сторону:

14 = 1/x

Теперь найдем обратное значение этого уравнения:

1/14 = x

Таким образом, x = 1/14 является критической точкой функции.

Шаг 3: Исследуем функцию на экстремумы. Для этого проверим знак производной в окрестности каждой критической точки. Для удобства выберем несколько значений x слева и справа от критической точки x = 1/14:

Пусть x = 1/28 (меньше 1/14):
y' = 14 - 1/(1/28) = 14 - 28 = -14 (отрицательное число)

Пусть x = 1/20 (больше 1/14):
y' = 14 - 1/(1/20) = 14 - 20 = -6 (отрицательное число)

Таким образом, знак производной отрицательный для любого значения x на отрезке [1/28; 1/14]. Это значит, что функция убывает на этом отрезке.

Шаг 4: Проверим значения функции на концах отрезка [1/28; 5/28]. Подставим x = 1/28 и x = 5/28 в исходную функцию:

y(1/28) = 14*(1/28) - ln(14*(1/28)) + 8 = 0 - ln(1) + 8 = -ln(1) + 8 = 0 + 8 = 8
y(5/28) = 14*(5/28) - ln(14*(5/28)) + 8 = 5 - ln(5) + 8

Обратите внимание, что значение ln(5) трудно оценить точно, но мы можем использовать приближенное значение 1.61 для ln(5), чтобы получить численный ответ:

y(5/28) ≈ 5 - 1.61 + 8 ≈ 11.39

Шаг 5: Найдем минимальное значение функции y=14x-ln(14x)+8 на отрезке [1/28; 5/28]. Минимальное значение функции будет в точке, где оно достигается. Исходя из предыдущих шагов, мы видим, что функция убывает на отрезке [1/28; 1/14] и имеет значение 8 в точке x = 1/28, а также возрастает на оставшейся части отрезка и имеет значение около 11.39 в точке x = 5/28.

Таким образом, наименьшее значение функции y=14x-ln(14x)+8 на отрезке [1/28; 5/28] равно 8, и оно достигается в точке x = 1/28.