На сколько изменится площадь круга, если диаметр уменьшить в N раз?
N - любое натуральное число.

Начальная площадь круга S₀=πr²₀, новый радиус r = r₀/N, новая площадь круга S = πr²=πr₀²/N²=S₀/N². ответ уменьшится в N² раз

Объяснение:

Для начала, давайте вспомним формулу для вычисления площади круга:
S = πr^2,
где S - площадь круга, π - математическая константа (приближенное значение равно 3.14), r - радиус круга.

Теперь, чтобы ответить на вопрос, нужно выяснить, как диаметр связан с радиусом. Диаметр (D) - это двойной радиус (r). То есть, D = 2r. Радиус же можно выразить через диаметр, r = D/2.

Теперь мы можем перейти к основному вопросу: на сколько изменится площадь круга, если диаметр уменьшить в N раз?

Предположим, что начальный диаметр равен D, а конечный диаметр равен D/N, где N - натуральное число, на которое мы уменьшаем диаметр.

Используя формулу для вычисления площади круга S = πr^2, где r = D/2, заменяем r на D/2 и получаем начальную площадь S1:
S1 = π(D/2)^2.

Теперь заменим r на D/N/2 и получим конечную площадь S2:
S2 = π(D/N/2)^2.

Раскроем скобки и упростим выражения:
S1 = π(D^2/4),
S2 = π(D^2/N^2/4).

Чтобы узнать, насколько изменится площадь, вычтем из начальной площади S1 конечную площадь S2:
Изменение площади = S1 - S2.

Раскроем скобки и упростим выражение:
Изменение площади = (π(D^2/4)) - (π(D^2/N^2/4)).

Видим, что в числителе и знаменателе стоит π/4 и D^2, поэтому можно сократить эти значения и получить окончательное выражение:
Изменение площади = (π/4)(D^2 - D^2/N^2).

Упростим дальше:
Изменение площади = (π/4)(D^2 - (D^2/N^2)),
Изменение площади = (π/4)(D^2 - D^2/N^2),
Изменение площади = (π/4)(D^2(1 - 1/N^2)).

Таким образом, изменение площади круга при уменьшении диаметра в N раз составляет (π/4)(D^2(1 - 1/N^2)).

Это выражение не зависит от конкретного значения для D и N, поэтому мы можем сделать общий вывод: площадь круга уменьшается пропорционально квадрату разницы между 1 и обратным квадратом N.

Например, если мы уменьшаем диаметр в 2 раза (N=2), то формула будет выглядеть следующим образом:
Изменение площади = (π/4)(D^2(1 - 1/2^2)),
Изменение площади = (π/4)(D^2(1 - 1/4)),
Изменение площади = (π/4)(D^2(3/4)),
Изменение площади = (3π/16)D^2.

Это означает, что площадь круга уменьшится до 3/16 исходной площади.

Таким образом, мы можем использовать данное выражение для вычисления изменения площади круга, если известен начальный диаметр и коэффициент уменьшения (N).