На реке организованы теплоходные туры выходного дня. Судно по течению 252 км до стоянки, на которой пассажирам предложили выход на экскурсию (это мероприятие заняло 8 ч), после чего теплоход вернулся обратно к месту отплытия. Какова собственная скорость теплохода, если известно, что скорость течения реки Волги на этом участке составляет в среднем 4 км/ч, а длительность всей поездки составляет ровно сутки?

Для решения данной задачи нам нужно определить скорость теплохода, исходя из известных данных о скорости течения реки и длительности поездки.

Шаг 1: Определяем время путешествия теплохода до стоянки
Известно, что теплоход проходит 252 км до стоянки. Рассчитаем время путешествия до стоянки, используя формулу времени, расстояния и скорости: время = расстояние / скорость.
Таким образом, время путешествия теплохода до стоянки будет равно 252 км / (V + 4 км/ч), где V - скорость теплохода.

Шаг 2: Учитываем время экскурсии
По условию, экскурсия занимает 8 часов. Значит, весь путь теплохода займет 24 - 8 = 16 часов.

Шаг 3: Рассчитываем время обратного пути
Теперь нужно рассчитать время, за которое теплоход вернется обратно к месту отплытия. Оно также будет равно 252 км / (V - 4 км/ч), так как теплоход будет двигаться против течения реки.

Шаг 4: Составляем уравнение
Согласно условию, длительность всей поездки составляет ровно сутки, то есть 24 часа. Поэтому, время путешествия теплохода до стоянки + время экскурсии + время обратного пути = 24 часа.
Подставляем значения времени в уравнение:
(252 км / (V + 4 км/ч)) + 8 ч + (252 км / (V - 4 км/ч)) = 24 ч.

Шаг 5: Решаем уравнение
Для упрощения уравнения, умножим все части на (V + 4 км/ч) * (V - 4 км/ч), чтобы избавиться от дробей в знаменателе:
252 км * (V - 4 км/ч) + 8 ч * (V + 4 км/ч) + 252 км * 8 ч = 24 ч * (V + 4 км/ч) * (V - 4 км/ч).

Выполним умножения:
252V - 1008 + 8V + 32 + 2016 = 24(V^2 - 16 км^2/ч^2).

Приведем подобные члены:
260V + 40 = 24V^2 - 384.

Перенесем все члены влево:
24V^2 - 260V - 424 = 0.

Шаг 6: Решаем уравнение квадратным способом
Теперь мы имеем квадратное уравнение 24V^2 - 260V - 424 = 0. Решим его, используя формулу дискриминанта и формулу корней квадратного уравнения.

Сначала найдем дискриминант (D):
D = (-260)^2 - 4 * 24 * (-424) = 67600.

Так как D > 0, уравнение имеет два действительных корня.

Формула для нахождения корней:
V₁,₂ = (-b ± √D) / (2a).

Подставляем значения:
V₁ = (260 + √67600) / (2 * 24) ≈ 22,17 км/ч,
V₂ = (260 - √67600) / (2 * 24) ≈ -1,767 км/ч.

Отрицательное значение V₂ не имеет физического смысла, поэтому отбрасываем его.

Ответ: Собственная скорость теплохода при движении по течению составляет примерно 22,17 км/ч.