На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равна дисперсия этой случайной величины?

≈1,434

Объяснение:

X - дискретная случайная величина.

Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 1-го светофора:

P(X=0)=(1-0,5)=0,5

Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 2-го светофора, проехав на 1-м светофоре:

P(X=1)=0,5(1-0,5)=0,5·0,5=0,25

Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 3-го светофора, проехав при этом на первых двух светофорах:

P(X=2)=0,5·0,5(1-0,5)=0,25 ·0,5=0,125

Вероятность того, что машина попала на запрещающий сигнал 3-го светофора, проехав при этом на первых трёх светофорах:

P(X=3)=0,5·0,5·0,5(1-0,5)=0,125 ·0,5=0,0625

Вероятность того, что машина проехала все четыре светофора:

P(X=4)=0,5 ·0,5 ·0,5 ·0,5=0,0625

Теперь можем показать вид закона распределения X:

x(i)          0          1          2          3          4

p(i)        0,5      0,25   0,125  0,0625  0,0625

Проверим:

Σp(i)=0,5+0,25+0,125+0,0625+0,0625=1

Дисперсия:

D(X)=Σ(x(i))²p(i) -(Σx(i)p(i))²=0²·0,5+1²·0,25+2²·0,125+3²·0,0625+4²·0,0625-(0·0,5+1·0,25+2·0,125+3·0,0625+4·0,0625)²=0,25+0,5+0,5625+1-(0,25+0,25+0,1875+0,25)²=2,3125-0,9375²≈1,434