На плоскости даны три точки А, В, С. Найти методами векторной алгебры: 1. площадь треугольника АВС, 2. точку М, симметричную точке А относительно стороны ВС, 3. уравнение медианы ВК. А (2,3); В (-1,2); С (-4,-4) .

Добрый день! Давайте решим задачу поэтапно, чтобы ответ был понятен всем.

1. Площадь треугольника АВС:
Для нахождения площади треугольника используем формулу Герона. Она основана на длинах сторон треугольника, которые в свою очередь могут быть выражены через его вершины с помощью векторов.

Используем свойство векторов: площадь параллелограмма, образованного двумя векторами, равна модулю их векторного произведения.

1.1. Найдем вектор АВ:
Вектор АВ = В - А = (-1, 2) - (2, 3) = (-1 - 2, 2 - 3) = (-3, -1).

1.2. Найдем вектор АС:
Вектор АС = С - А = (-4, -4) - (2, 3) = (-4 - 2, -4 - 3) = (-6, -7).

1.3. Найдем площадь параллелограмма, образованного векторами АВ и АС:
Площадь параллелограмма = |(АВ) x (АС)|, где |(АВ) x (АС)| - модуль векторного произведения АВ и АС.

1.4. Найдем модуль векторного произведения:
|(АВ) x (АС)| = |(-3, -1) x (-6, -7)| = |(-3 * -7 - -1 * -6, -1 * -6 - -3 * -7)| = |(-21 - 6, 6 - 21)| = |(-27, -15)| = √((-27)^2 + (-15)^2) = √(729 + 225) = √(954) = 31.

1.5. Найдем площадь треугольника АВС:
Площадь треугольника АВС = 0.5 * площадь параллелограмма = 0.5 * 31 = 15.5 (единицы площади, так как мы работаем на плоскости).

Итак, площадь треугольника АВС составляет 15.5 единицы площади.

2. Точка М, симметричная точке А относительно стороны ВС:
Для нахождения точки М, которая является симметричной точке А относительно стороны ВС, будем использовать формулу средней точки отрезка.

2.1. Найдем координаты середины стороны ВС:
Координаты середины стороны ВС = (1/2) * (В + С) = (1/2) * ((-1, 2) + (-4, -4)) = (1/2) * (-5, -2) = (-2.5, -1).

2.2. Найдем вектор АМ:
Вектор АМ = 2 * (координаты середины стороны ВС) - В = 2 * (-2.5, -1) - (-1, 2) = (-5, -2) + (1, -4) = (-4, -6).

2.3. Найдем точку М:
Точка М = А + АМ = (2, 3) + (-4, -6) = (2 - 4, 3 - 6) = (-2, -3).

Итак, точка М, являющаяся симметричной точке А относительно стороны ВС, имеет координаты (-2, -3).

3. Уравнение медианы ВК:
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения уравнения медианы ВК будем использовать формулу прямой, проходящей через две точки.

3.1. Найдем координаты середины стороны ВК:
Координаты середины стороны ВК = (1/2) * (В + С) = (1/2) * ((-1, 2) + (-4, -4)) = (1/2) * (-5, -2) = (-2.5, -1).

3.2. Уравнение медианы ВК:
Уравнение прямой, проходящей через точки В(-1, 2) и К(-4, -4), можно найти, используя формулу:
(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек В и К соответственно.

Подставим значения в формулу:
(y - 2) / (-4 - 2) = (x - (-1)) / (-4 - (-1)),
(y - 2) / (-6) = (x + 1) / (-3).

Упростим уравнение:
3(y - 2) = -6(x + 1),
3y - 6 = -6x - 6,
3y = -6x.

Итак, уравнение медианы ВК имеет вид 3y = -6x.

Вот, мы рассмотрели все три пункта задачи, используя векторную алгебру. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.