На координатной плоскости задан четырехугольник с вершинами в точках (0;6), (8;12), (11;8) и (3;2). Вычислите площадь фигур, на которые разбивает его прямая, заданная уравнением x+7y-67=0.

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем координаты точек пересечения прямой и сторон четырехугольника.
Уравнение прямой дано в общем виде: x + 7y - 67 = 0.
Для нахождения точек пересечения, подставим x и y координаты из уравнения прямой в уравнение каждой из сторон четырехугольника и решим систему уравнений.

a) Подставим (0; 6) в уравнение прямой:
0 + 7 * 6 - 67 = 0 + 42 - 67 = -25.

Таким образом, точка (0; 6) не лежит на прямой.

b) Подставим (8; 12) в уравнение прямой:
8 + 7 * 12 - 67 = 8 + 84 - 67 = 25.

Таким образом, точка (8; 12) лежит на прямой.

c) Подставим (11; 8) в уравнение прямой:
11 + 7 * 8 - 67 = 11 + 56 - 67 = 0.

Таким образом, точка (11; 8) лежит на прямой.

d) Подставим (3; 2) в уравнение прямой:
3 + 7 * 2 - 67 = 3 + 14 - 67 = -50.

Таким образом, точка (3; 2) не лежит на прямой.

Значит, прямая пересекает стороны четырехугольника в точках (8; 12) и (11; 8).

Шаг 2: Разобъем четырехугольник на фигуры.
Прямая пересекает стороны четырехугольника, разделяя его на две треугольные фигуры. Одна из фигур будет образована прямой и стороной четырехугольника, содержащей точку (8; 12), а другая - прямой и стороной четырехугольника, содержащей точку (11; 8).

Шаг 3: Вычислим площадь фигур.
Для нахождения площади каждой из фигур, воспользуемся формулой площади треугольника, которая гласит: S = (1/2) * a * h, где a - основание треугольника, h - высота треугольника.

a) Координаты точек треугольника, образованного прямой и стороной четырехугольника, содержащей точку (8; 12), следующие: (0; 6), (8; 12), (8; 4).

Основание треугольника равно длине отрезка между точками (0; 6) и (8; 4):
a = sqrt((8 - 0)^2 + (4 - 6)^2) = sqrt(64 + 4) = sqrt(68) ≈ 8.25.

Высота треугольника равна длине отрезка, опущенного из точки (8; 12) на сторону четырехугольника, параллельную оси y:
h = |12 - 4| = 8.

Таким образом, площадь первой фигуры равна:
S1 = (1/2) * a * h = (1/2) * 8.25 * 8 = 33.

b) Координаты точек треугольника, образованного прямой и стороной четырехугольника, содержащей точку (11; 8), следующие: (11; 8), (11; 2), (3; 2).

Основание треугольника равно длине отрезка между точками (11; 8) и (3; 2):
a = sqrt((3 - 11)^2 + (2 - 8)^2) = sqrt(64 + 36) = sqrt(100) = 10.

Высота треугольника равна длине отрезка, опущенного из точки (11; 8) на сторону четырехугольника, параллельную оси y:
h = |8 - 2| = 6.

Таким образом, площадь второй фигуры равна:
S2 = (1/2) * a * h = (1/2) * 10 * 6 = 30.

Ответ: Площадь фигур, на которые разбивает прямая четырехугольник, равна 33 и 30.