На доске записано число 123456789. разрешается брать любые две цифры одинаковой чётности и заменять каждую из них на среднее арифметическое. можно ли такими операциями когда-нибудь получить на доске число, большее 800000000?

Да, можно.
Один из
Замена первой цифры и каждой последующей.
Т.е. сначала берётся 1 и 3 цифра, потом 1 и 4, потом 1 и 5, ..., в конце 1 и последняя.
Таким образом, мы увеличивали первую цифру на 1 после каждой операции.
На фото все эти операции.