На доске написано несколько различных натуральных чисел, состоящие только из 2 и 7.

а) может ли сумма быть 81

б) может ли сумма быть 197

в) сколько минимум чисел сложить, чтобы сумма была 209

а).

Приведем пример:

2 + 7 + 72 = 81.

ответ: да.

б).

Заметим, что при такой сумме будут использованы только двузначные и однозначные числа (так как наименьшее возможное в задаче трехзначное число, 222, уже больше 197). То есть, имеем всего лишь шесть возможных чисел: 2, 7, 22, 27, 72, 77.

Предположим, что 197 можно представить в виде суммы нескольких различных натуральных чисел, состоящих только из 2 и 7. Так как 197 - число нечетное, то и в искомой сумме будет нечетное количество нечетных чисел - или же нечетное количество чисел, заканчивающихся на 7 (то есть, 1 или 3 числа).

Итак, рассмотрим два случая. Пусть в сумме есть только одно нечетное число. Тогда максимальное значение такой суммы равняется (2 + 22 + 72) + 77 = 173, что, естественно, меньше 197. Такой расклад событий нам не подходит.

Второй случай подразумевает, что были использованы все три нечетных числа. Если мы к тому же взяли в сумму и все четные числа, то она стала равна (7 + 27 + 77) + (2 + 22 + 72) = 207. Это больше, чем нам нужно, ровно на 10. Но проблема в том, что мы должны вычесть из суммы 10, используя только 2, 22, 72. Но 2 < 10 < 22, и уменьшить сумму таким тоже не получится. Значит, и этот вариант не имеет места быть.

И искомое предположение было неверным.

ответ: нет.

в).

В полном условии задачи пункта в указано число 2099 (так как число 209 получить искомым нельзя).

Докажем, что меньше, чем за семь слагаемых, получить 2099 невозможно.

Здесь, опять же, в силу нечетности числа 2099, в сумме будут присутствовать нечетное количество чисел, заканчивающихся на 7.

Если такое число одно, то сумма последних цифр (чтобы на конце было 9 и всего слагаемых было не более 7) может быть такова:

7 + 2   ⇒  __9    (2 числа)

7 + 2 ⋅ 6   ⇒  __9    (7 чисел)

Если у нас три семерки, то случай (в пределах семи слагаемых) только один:

7 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4   ⇒  __9    (7 чисел)

Тоже самое касается пяти и семи семерок:

7 ⋅ 5 + 2 ⋅ 2   ⇒  __9    (7 чисел)

7 ⋅ 7   ⇒  __9    (7 чисел)

Если чисел, заканчивающихся на 7, больше чем 7, то и всего слагаемых больше семи, что нас пока не устраивает.

Таким образом, единственный случай с меньше, чем с семью слагаемыми, - это 2 + 7.

Но если у нас есть всего лишь два слагаемых, то максимальная сумма равна 772 + 777 = 1549 < 2099 (четырехзначные числа не используются, так как 2222 > 2099). Получаем, что меньше семи слагаемых использовать невозможно (есть только один кандидат из двух слагаемых, правда, нам не подходящий).

Докажем, что семь слагаемых будет достаточно - приведем пример:

2 + 22 + 222 + 722 + 77 + 277 + 777 = 2099

ответ: 7 чисел.