. Мой вариант №10. Буду благодарен если всем чем сможете ))). Первый пункт уже сделан A1 (7,7,3) A2 (6,5,8) A3 (3,5,8) A4 (8,4,1)

Даны точки A1(7,7,3), A2(6,5,8), A3(3,5,8), A4(8,4,1).

1) Находим векторы.

Вектор А1А2 = (6-7; 5-7; 8-3) = (-1; -2; 5),  

модуль равен √((-1)² + (-2)² + 5²) = √(1 + 4 + 25) = √30.

Вектор А1А3 = (3-7; 5-7; 8-3) = (-4; -2; 5).

модуль равен √((-4)² + (-2)² + 5²) = √(16 + 4 + 25) = √45 = 3√5.

Также находим вектор А1А4 = (8-7; 4-7; 1-3) = (1; -3; -2).

модуль равен √(1² + (-3)² + (-2)²) = √(1 + 9 + 4) = √14.

Находим нормальный вектор плоскости А1А2А3 как векторное произведение векторов А1А2 и А1А3 с применением схемы Саррюса.

 I       j      k|       I       j

-1     -2     5|     -1     -2

-4     -2     5|     - 4    -2 = -10i - 20j + 2k – (-5)j – (-10)i - 8k = 0i - 15j - 6k.

Получили нормальный вектор плоскости (0; -15; -6).

Можно принять коллинеарный ему вектор (0; 15; 6).

Угол между прямой и плоскостью находим по формуле:

sin φ =      | A · l + B · m + C · n |          

               √(A² + B² + C²)· √(l² + m² + n²)

Подставим данные и найдём угол.

∠(A1А4,A1А2А3)=arcsin|⟨A1А4→,n⃗ А1А2А3⟩||A1А4→|⋅|n⃗ А1А2А3| =

=arcsin             |1⋅0+(−3)⋅15+(−2)⋅6 |                        

              √(1²+(−3)²+(−2)²)⋅√(0²+15²+6²) =

arcsin(19√406/406)≈1.231 радиан = (1.231⋅180π)∘≈70.554°.

2) Для составления уравнения плоскости А1А3А4  используем формулу:

x - xA                  y - yA                   z - zA

xB - xA              yB - yA                zB - zA

xC - xA              yC - yA                zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x – 7           y – 7               z – 3

3 – 7            5 – 7              8 – 3

8 – 7            4 – 7              1 - 3 = 0

x – 7           y – 7             z – 3

-4                -2                    5

 1                -3                   -2 = 0

(x – 7)(-2·(-2)-5·(-3)) – (y – 7)((-4)·(-2)-5·1) + (z – 3)((-4)·(-3)-(-2)·1) = 0

19(x – 7) + (-3)(y – 7) + 14(z – 3)= 0

19x - 3y + 14z - 154 = 0.

Нормальный вектор плоскости равен (19; -3; 14).

Для составления уравнения плоскости А2А3А4  используем ту же формулу.

Подставим данные и упростим выражение:

x – 6          y – 5             z – 8

3 – 6          5 – 5             8 – 8

8 – 6          4 – 5             1 - 8 = 0

x – 6          y – 5            z – 8

-3                0                    0

2                -1                   -7 = 0

(x – 6)(0·(-7)-0·(-1)) – (y – 5)((-3)·(-7)-0·2)+ (z – 8)((-3)·(-1)-0·2) = 0

0(x – 6) + (-21)(y – 5) + 3(z – 8) = 0

-21y + 3z + 81 = 0.

Нормальный вектор плоскости равен (0; -21; 3).

Вычислим угол между плоскостями

19x - 3y + 14z - 154 = 0 и  - 21y + 3z + 81 = 0

cos α =       |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|                      

            √(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²)

cos α =          |19·0 + (-3)·(-21) + 14·3|            

             √(19² + (-3)² + 14²)* √(0² + (-21)² + 3²) =

         =                    |0 + 63 + 42|                                                        

             √(361 + 9 + 196)*√(0 + 441 + 9) =

= 105/(√566 *√450) = 105/√254700 = 7√283/566 ≈ 0,20805.

α = 77.9917°.

3) Находим вектор А1А2 = (6-7; 5-7; 8-3) = (-1; -2; 5).

Получаем уравнение А1А2:  

(x – 7)/(-1) = (y – 7)/(-2) = (z – 3)/5.

8) Нормальный вектор плоскости А1А2А3 уже найден и равен (0; 15; 6).

Осталось подставить координаты точки А1(7; 7; 3) и подставить в уравнение плоскости.

0*(x – 7) + 15*(y – 7) + 6*(z – 3) = 0.  Получаем:

15у + 6z – 123 = 0.  

9) Для параллельной плоскости коэффициенты переменных в уравнении (а это координаты нормального вектора) сохраняются.

Подставляем координаты точки А4(8; 4; 1).

0*(x – 8) + 15*(y – 4) + 6*(z – 1) = 0.  Получаем:

15у + 6z – 66 = 0.  

10) Этот вопрос не имеет однозначного решения, так как через одну точку можно провести неограниченное множество плоскостей, перпендикулярных заданной.

11) Находим вектор А1А4 = (8-7; 4-7; 1-3) = (1; -3; -2).

Уравнение прямой А1А4:

(x - 7)/1 = (y – 7)/(-3) = (z – 3)/(-2).

12) Длина высоты – это расстояние от точки А4 до плоскости А1А2А3.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0

используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|

           √(A² + B² + C²)

Подставим в формулу данные:

d = |0·8 + (-15)·4 + (-6)·1 + 123|

          √(0² + (-15)² + (-6)²) =  

=   0 - 60 - 6 + 123|

   √0 + 225 + 36 =

= 57/√261 = 19√29/29 ≈ 3.52821.

13)  Надо найти проекцию точки А4 на плоскость А2А3А4. Пусть это точка Е.

Находим уравнение прямой А4Е.

Нормальный вектор плоскости А2А3А4 найден ранее и равен (0; -21; 3). и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Получаем уравнение перпендикуляра из точки A1(7; 7; 3).

А4Е:((x - 7)/0 = (y - 7)/(-21) = ((z - 3)/3.

Координаты, которые имеет точка Е пересечения  x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:

{((x - 7)/0 = (y - 7)/(-21) = ((z - 3)/3.

{ -21y + 3z + 81 = 0.

Уравнение прямой представим в параметрическом виде.

((x - 7)/0 = (y - 7/(-21) = ((z - 3)/3 = t,

x - 7 = 0*t ,         x = 7,

y – 7 = (-21)*t,   y = -21t + 7,

z - 3 = 3*t,          z = 3t + 3.

Подставим переменные в уравнение плоскости x-y+z+3=0.

-21(-21t + 7) + 3(3t + 3) + 81 = 0,

441t – 147 + 9t + 9 + 81.

450t = 57,

t =  57/450 = 19/150.

Подставим значение t в выражения переменных.

x =  7,  

y = -21*(19/150) + 7 = (-399+1050)/150 = 651/150 = 217/50,

z =  3*(19/150) + 3 = (57+450)/150 = 507/150 = 169/50.

Найдена точка E пересечения перпендикуляра из точки A1 и плоскости А2A3A4, она же является проекцией точки A1 на заданную плоскость.

ответ: Е(7; (217/50); (169/50)).