Меньший катет прямоугольного треугольника на 18 меньше, чем гипотенуза этого треугольника. Найди стороны треугольника, если его площадь равна 84.

Давайте разберемся с данной задачей о прямоугольном треугольнике.

Предположим, что меньший катет этого треугольника равен x, а гипотенуза равна z.

Согласно условию задачи, меньший катет (x) на 18 меньше гипотенузы (z). Мы можем записать это в виде уравнения: x = z - 18.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника состоит из половины произведения катетов или половины произведения катета и гипотенузы: S = (1/2) * x * z.

Подставляя в эту формулу значение площади (S) из условия задачи, получим следующее уравнение: 84 = (1/2) * x * z.

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений:

x = z - 18
84 = (1/2) * x * z

Подставим выражение для x, взятое из первого уравнения, во второе уравнение:

84 = (1/2) * (z - 18) * z

Распределим множитель (1/2) на оба слагаемых в скобках и умножим:

168 = z^2 - 18z

Теперь полученное уравнение является квадратным. Приведем его к каноническому виду, чтобы решить его.

Z^2 - 18z - 168 = 0

Давайте решим это квадратное уравнение:

Сначала, чтобы упростить его решение, можно поделить все коэффициенты на - 1:

z^2 + 18z + 168 = 0

Затем, мы можем попытаться разбить средний коэффициент на две части, которые в сумме дают 18, но умножение этих двух чисел дает произведение, равное произведению 168.
После анализа можно видеть, что эти два числа - 6 и 28.

Теперь мы можем разбить середину формулы на две части:

z^2 + 6z + 12z + 168 = 0

Группировка выражений поможет нам:

(z^2 + 6z) + (12z + 168) = 0
z(z + 6) + 12(z + 14) = 0

Теперь мы видим две скобки, которые можно вынести:

z(z + 6) + 12(z + 14) = 0
z(z + 6) + 12(z + 14) = 0

(z + 6)(z + 12) = 0

Итак, мы получили два возможных значения для z: -6 и -12.

Теперь, так как мы ищем длины сторон треугольника, мы должны отбросить отрицательные значения.

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 12.

Отсюда, используя уравнение для x = z - 18, мы можем вычислить длину меньшего катета:

x = 12 - 18 = -6
х = 6 - 18 = -12

Также нам нужно отбросить отрицательные значения, значит, меньшей катет равен 6.

Таким образом, длины сторон треугольника составляют: x = 6, гипотенуза z = 12.

Ответ: меньший катет равен 6, гипотенуза равна 12.