Лф18) Если 0<a<1 , то какое из приведенных выражений имеет смысл? A)
B)
C)
D)
Желательно с объяснением

$log_{2}( log_{a}(a + 1) )$
$log_{a}( log_{a}( \frac{\pi}{4} ) )$
$log_{2}( log_{a}( log_{2}(3) ) )$
$log_{10}( log_{10}( log_{10}(a) ) )$

Ответы

ataev0512 15.10.2020 15:32

Для логарифма $\displaystyle \log _x y$ Область Допустимых Значений (она же - ОДЗ) выглядит так (это нам понадобится для решения задачи):

$\log_xy \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \displaystyle \begin{equation*} \begin{cases}x0 \\x\ne1 \\y0 \end{cases}\end{equation*}$

Рассмотрим логарифм $\log _a(a+1)$ . С точки зрения ОДЗ и того, что и 1 < a+1 < 2 , с этим логарифмом все хорошо.

Но, так как основание логарифма меньше единицы, то его значение больше ноля при 0 < a+1 < 1 , а меньше ноля - при a+11 . Из данного в задаче условия на имеем, что 1 < a+1 < 2 . Значит, выражение этого логарифма отрицательно.

Но что тогда можно сказать о втором логарифме? Для него подлогарифмическое выражение меньше ноля, что нас абсолютно не устраивает.

Итог: выражение не имеет смысла.

Рассуждаем по аналогии:

$\log_a \bigg ( \dfrac{ \pi }{4} \bigg )$ - существует и больше ноля (так как и $0< \pi / 4 < 1$ ). Основание и подлогарифмическое выражение не только соответствуют ОДЗ, но и оба меньше единицы.

$\log_a \bigg ( \log_a \bigg ( \dfrac{ \pi}{4} \bigg ) \bigg )$ - тоже существует, так как и $a \ne 1$ , а также подлогарифмическое выражение больше ноля.

Итог: выражение $\log_a \bigg ( \log_a \bigg ( \dfrac{ \pi}{4} \bigg ) \bigg )$ имеет смысл.

Решаем с использованием уже оговоренных схем:

$\log_2 3$ - существует и больше единицы (так как 321 ).

$\log_a ( \log_23)$ - существует и меньше ноля (так как $\log_23 1$ и ).

$\log _2 ( \log_a ( \log_23) )$ - не очень хорошо существует, в силу отрицательности подлогарифмического выражения.

Итог: выражение не имеет смысла.

$\log_{10} a$ - существует и меньше ноля (так как 101 и ).

$\log_{10} ( \log_{10}a)$ - не существует, так как $\log_{10} a < 0$ .

$\log _{10} ( \log_{10} ( \log_{10}a) )$ - не существует, так как уже его подлогарифмическое выражение не существует.

Итог: выражение не имеет смысла.

ответ : B ) .

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

amid69 15.10.2020 15:32

А) не имеет. т.к. ㏒ₐ(а+1) отрицательно, и ㏒₂( ㏒ₐ(а+1)) не имеет смысла.

В) ㏒ₐ(π/4) >0; ㏒ₐ(㏒ₐ(π/4)) имеет смысл.

С) ㏒₂3 положительно, ㏒ₐ(㏒₂3) отрицательно. поэтому ㏒₂(㏒ₐ(㏒₂3)) смысла не имеет.

D) (㏒₁₀а) отрицателен, поэтому (㏒₁₀(㏒₁₀а)) уже не имеет смысла, а уж ㏒₁₀(㏒₁₀(㏒₁₀а)) и тем более не имеет смысла.

ответ В)

Дополнение. Если основание логарифма больше 1, а подлогарифмическое значение больше нуля, но меньше 1, то логарифм отрицат. и обратно, а если основание логарифма больше нуля, но меньше 1, и подлогарифмическое значение больше нуля, но меньше 1, то логарифм положителен. или если оба больше единицы.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра