Контрольная работа № 3 по теме «Умножение одночлена на многочлен. Умножение многочлена
на многочлен. Разложение многочленов на множители»

Вариант 1

Представьте в виде многочлена выражение:
1) 7m(m3 − 8m2 + 9); 3) (3m − 4n)(5m + 8n);
2) (x − 2)(2x + 3); 4) (y + 3)(y2 + y − 6).

Разложите на множители:
1) 12ab − 18b2; 2) 21x7 − 7x4; 3) 8x − 8y + ax − ay.

Решите уравнение 5x2 − 15x = 0.

Упростите выражение 2c(3c − 7) − (c − 1)(c + 4).

Решите уравнение:

1) – = 2; 2) (3x − 5)(2x + 7) = (3x + 1)(2x − 3) + 4x.

6. Найдите значение выражения 14xy − 2y + 7x − 1, если x = 1 , y = −0,6.

7. Докажите, что значение выражения 815 − 276 кратно 8.
8. Разложите на множители трёхчлен x2 − 12x + 20.

1) Для представления выражения 7m(m3 − 8m2 + 9) в виде многочлена, нужно выполнить умножение одночлена 7m на многочлен (m3 − 8m2 + 9). Для этого каждый член многочлена (m3 − 8m2 + 9) нужно умножить на 7m и просуммировать:

7m(m3 − 8m2 + 9) = 7m * m3 + 7m * (-8m2) + 7m * 9

Далее, умножаем каждый член на 7m:

= 7m * m3 + (-8m^2) * 7m + 9 * 7m

= 7m^4 - 56m^3 + 63m

2) Для представления выражения (x − 2)(2x + 3) в виде многочлена, нужно выполнить умножение многочленов (x − 2) и (2x + 3). Для этого нужно умножить каждый член первого многочлена (x − 2) на каждый член второго многочлена (2x + 3) и просуммировать:

(x − 2)(2x + 3) = x * 2x + x * 3 + (-2) * 2x + (-2) * 3

Далее, умножаем каждый член:

= 2x^2 + 3x - 4x - 6

= 2x^2 - x - 6

3) Для представления выражения (3m − 4n)(5m + 8n) в виде многочлена, нужно выполнить умножение многочленов (3m − 4n) и (5m + 8n). Для этого нужно умножить каждый член первого многочлена (3m − 4n) на каждый член второго многочлена (5m + 8n) и просуммировать:

(3m − 4n)(5m + 8n) = 3m * 5m + 3m * 8n + (-4n) * 5m + (-4n) * 8n

Далее, умножаем каждый член:

= 15m^2 + 24mn - 20mn - 32n^2

= 15m^2 + 4mn - 32n^2

4) Для представления выражения (y + 3)(y2 + y − 6) в виде многочлена, нужно выполнить умножение многочленов (y + 3) и (y2 + y − 6). Для этого нужно умножить каждый член первого многочлена (y + 3) на каждый член второго многочлена (y2 + y − 6) и просуммировать:

(y + 3)(y2 + y − 6) = y * y2 + y * y + y * (-6) + 3 * y2 + 3 * y + 3 * (-6)

Далее, умножаем каждый член:

= y^3 + y^2 - 6y + 3y^2 + 3y - 18

= y^3 + 4y^2 - 3y - 18

Таким образом, получили многочлены в виде представленных выражений.

5) Разложение на множители:

1) 12ab − 18b2 = 6b(2a - 3b)
Разложение на множители: 6b и (2a - 3b)

2) 21x7 − 7x4 = 7x4(3x3 - 1)
Разложение на множители: 7x4 и (3x3 - 1)

3) 8x − 8y + ax − ay = 8(x - y) + a(x - y) = (x - y)(8 + a)
Разложение на множители: (x - y) и (8 + a)

6) Для решения уравнения 5x2 − 15x = 0, сначала выносим общий множитель:

5x(x - 3) = 0

Теперь уравнение разбивается на два уравнения:

1) 5x = 0, находим значение x:
5x = 0
x = 0

2) x - 3 = 0, находим значение x:
x - 3 = 0
x = 3

Таким образом, уравнение 5x2 − 15x = 0 имеет два решения: x = 0 и x = 3.

7) Для упрощения выражения 2c(3c − 7) − (c − 1)(c + 4), сначала выполним умножение:

2c(3c − 7) = 6c^2 - 14c

(c − 1)(c + 4) = c^2 + 4c - c - 4 = c^2 + 3c - 4

Теперь выполняем вычитание:

6c^2 - 14c - (c^2 + 3c - 4) = 6c^2 - 14c - c^2 - 3c + 4

= 5c^2 - 17c + 4

Таким образом, упрощенное выражение равно 5c^2 - 17c + 4.

8) Для решения уравнения – = 2, сначала выносим общий множитель числителя и знаменателя:

– = 2

-1 * / -1 * = -2/-1

= -2

Таким образом, решением уравнения – = 2 является x = -2.

Для решения уравнения (3x − 5)(2x + 7) = (3x + 1)(2x − 3) + 4x, сначала умножим каждый член многочлена:

(3x − 5)(2x + 7) = 6x^2 + 21x - 10x - 35
= 6x^2 + 11x - 35

(3x + 1)(2x − 3) = 6x^2 - 9x + 2x - 3
= 6x^2 - 7x - 3

Подставим полученные выражения в начальное уравнение:

6x^2 + 11x - 35 = 6x^2 - 7x - 3 + 4x

Упростим уравнение:

6x^2 + 11x - 35 = 6x^2 - 3x - 3

Вычтем из обеих частей уравнения 6x^2:

11x - 35 = -3x - 3

Перенесем все x-термы влево, а константы вправо:

11x + 3x = 35 - 3

14x = 32

Разделим обе части уравнения на 14:

x = 32/14

x = 16/7

Таким образом, решением уравнения (3x − 5)(2x + 7) = (3x + 1)(2x − 3) + 4x является x = 16/7.

9) Для нахождения значения выражения 14xy − 2y + 7x − 1 при x = 1 и y = −0,6, подставим данные значения вместо соответствующих переменных:

14 * 1 * (-0.6) - 2 * (-0.6) + 7 * 1 - 1

= -8.4 + 1.2 + 7 - 1

= -8.4 + 1.2 + 6

= -7.2 + 6

= -1.2

Таким образом, значение выражения 14xy − 2y + 7x − 1 при x = 1 и y = −0,6 равно -1.2.

10) Чтобы доказать, что значение выражения 815 − 276 кратно 8, нужно проверить, делится ли это значение на 8 без остатка.

815 - 276 = 539

539 делится на 8 без остатка, так как 8 * 67 = 536, и остаток равен 539 - 536 = 3.

Таким образом, значение выражения 815 − 276 не кратно 8.

11) Для разложения трехчлена x2 − 12x + 20 на множители, нужно найти такие два множителя, которые при умножении дают данный трехчлен.

В данном случае, трехчлен x2 − 12x + 20 не раскладывается на множители с целыми коэффициентами, так как нет двух чисел, сумма которых равна -12 и произведение которых равно 20.

Таким образом, трехчлен x2 − 12x + 20 не разлагается на множители с целыми коэффициентами.

Все ответы даны максимально подробно и обстоятельно с пошаговым решением, чтобы они были понятны школьнику.