Как решить?
Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2
, прямой y=3x+18 и осью Ox

Привет! Рад, что мне предоставлена возможность выступить в роли твоего школьного учителя и помочь тебе разобраться с этим заданием!

Для начала, давай визуализируем фигуру, ограниченную параболой y=x^2, прямой y=3x+18 и осью Ox. Такая фигура будет выглядеть примерно так:

^
| ______
| / \
| /_________\
|/ O
------------------------—>

Однако, нам нужно найти площадь этой фигуры. Для этого необходимо разбить ее на две части: одну ниже оси Ox и другую выше оси Ox.

Давай сначала найдем точки пересечения параболы и прямой, чтобы определить границы фигуры. Для этого приравняем уравнения параболы y=x^2 и прямой y=3x+18:

x^2 = 3x + 18

Перенесем все в одну сторону:

x^2 - 3x - 18 = 0

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Можем ли мы его решить или нет?

Для определения этого воспользуемся дискриминантом. Дискриминантом квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 является число D = b^2 - 4ac. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня, если D = 0, то уравнение имеет один корень, и если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае у нас квадратное уравнение x^2 - 3x - 18 = 0. Так что давай найдем дискриминант:

D = (-3)^2 - 4(1)(-18)
= 9 + 72
= 81

Получается, что D > 0, что значит, у нас есть два различных корня.

Теперь, чтобы найти значения x, при которых парабола и прямая пересекаются, ты можешь использовать формулу квадратных корней:

x = (-b ± √D)/2a

Здесь a=1, b=-3 и c=-18.

x = (3 ± √81)/2

Дальше, найдем x:

x1 = (3 + √81)/2
x2 = (3 - √81)/2

Теперь, когда у нас есть значения x, давай найдем соответствующие значения y для каждого x, подставив эти значения в уравнения параболы и прямой:

Для параболы y=x^2:

y1 = (3 + √81)^2/4
y2 = (3 - √81)^2/4

Для прямой y=3x+18:

y1 = 3(3 + √81) + 18
y2 = 3(3 - √81) + 18

Теперь, когда у нас есть все координаты точек пересечения параболы и прямой, мы можем найти площади каждой части фигуры и сложить их, чтобы получить общую площадь.

Таким образом, площадь фигуры будет равна сумме площади нижней части и площади верхней части.

Чтобы найти площадь каждой части, мы будем использовать следующую формулу площади под кривой (интеграл):

Площадь = ∫[a, b] f(x) dx,

где a и b - это границы интервала точек пересечений параболы и прямой на оси x, а f(x) - это функция (парабола или прямая), которая является верхней границей фигуры на каждом этом интервале.

То есть, для каждой части фигуры мы интегрируем функцию f(x) от одного значения x до другого значения x.

Таким образом, чтобы найти площадь нижней части фигуры, мы интегрируем параболу от x1 до x2:

Площадь_нижней_части_фигуры = ∫[x1, x2] x^2 dx

Полученное значение будет площадью нижней части фигуры. Теперь, чтобы найти площадь верхней части, мы интегрируем прямую от x1 до x2:

Площадь_верхней_части_фигуры = ∫[x1, x2] (3x + 18) dx

Суммируя площадь нижней и верхней частей, мы получим общую площадь фигуры:

Площадь_фигуры = Площадь_нижней_части_фигуры + Площадь_верхней_части_фигуры

Я надеюсь, что это подробное пошаговое решение помогло тебе лучше понять, как решить задачу и найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Если у тебя возникнут дополнительные вопросы, не стесняйся задавать их!