Как решить лимит lim x-> к бесконечности (2n+5/2n+7)^2n+1

3458 3458    2   13.07.2019 17:00    1

Ответы
olesazato olesazato  20.09.2020 06:49
Как определить предел \lim_{n \to \infty} ( \frac{2n+5}{2n+7})^{2n+1}

Решение:

\lim_{n \to \infty} ( \frac{2n+5}{2n+7})^{2n+1} = \lim_{n \to \infty} ( \frac{2n+7-2}{2n+7})^{2n+1}=

= \lim_{n \to \infty} ( \frac{2n+7}{2n+7}- \frac{2}{2n+7} )^{2n+1}= \lim_{n \to \infty} ( 1-\frac{2}{2n+7})^{2n+1}=

= \lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n+ \frac{7}{2} })^{2n+1}= 1^{\infty}


 Данная неопределенность раскрывается с второго замечательного предела.
Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр

 α =-(n+ \frac{7}{2}) ,
 значит, в показателе степени нам тоже нужно организовать

 -(n+ \frac{7}{2}) .

 Для этого возводим основание в степень

 -(n+ \frac{7}{2} )  и,

 чтобы выражение не изменилось – возводим в степень

-\frac{1}{n+ \frac{7}{2} } :

\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n+ \frac{7}{2} })^{2n+1}=\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n+ \frac{7}{2} })^{-(n+ \frac{7}{2})* (-\frac{2n+1}{n+ \frac{7}{2} }) }=

=e^{ \lim_{n \to \infty}(-\frac{2n+1}{n+ \frac{7}{2} }) }=e^{ \lim_{n \to \infty}(-\frac{2+ \frac{1}{n} 1}{1+ \frac{7}{2n} }) }=e^{-2}= \frac{1}{e^2}
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра