К графику функции y=x^3/3 составить уравнение касательной, чтобы она была параллельна прямой y=25x−4.

Хорошо, давай решим эту задачу шаг за шагом.

1. Начнем с того, что у нас есть график функции y = x^3/3. Это кубическая функция, которая имеет форму прямой линии, наклоненной вверх.

2. Мы хотим найти уравнение касательной, которая была бы параллельна прямой y=25x−4. Для этого нам нужно найти точку на графике функции y = x^3/3 с таким же наклоном, как у прямой y=25x−4.

3. Для начала найдем производную функции y = x^3/3. Производная показывает наклон графика функции в каждой точке.

4. Чтобы найти производную функции y = x^3/3, нам нужно применить правило дифференцирования для степенной функции, которое гласит, что производная функции x^n равна n*x^(n-1).

Применяя это правило, получим: y' = (3/3)x^(3-1) = x^2.

5. Теперь у нас есть производная функции y = x^3/3, которая равна y' = x^2. Это означает, что наклон графика функции y = x^3/3 в каждой точке равен значению функции y' = x^2 в этой точке.

6. Мы хотим, чтобы уравнение касательной имело такой же наклон, как у прямой y=25x−4. Значит, мы должны приравнять значение производной функции y = x^3/3 к наклону прямой.

Поэтому, x^2 = 25.

7. Решаем это уравнение относительно x.

Получаем: x = ± 5.

Таким образом, точки пересечения графика функции y = x^3/3 с касательной, параллельной прямой y=25x−4, находятся в точках с координатами (5, f(5)) и (-5, f(-5)), где f(x) = x^3/3.

8. Теперь, чтобы найти уравнение касательной, нам нужно найти значение функции f(x) в этих точках.

Подставляем x = 5 в y = x^3/3 и находим y = (5^3)/3 = 125/3.

Получаем точку (5, 125/3).

Подставляем x = -5 в y = x^3/3 и находим y = (-5^3)/3 = -125/3.

Получаем точку (-5, -125/3).

9. Теперь, когда у нас есть две точки на касательной, мы можем использовать уравнение прямой, чтобы найти уравнение касательной.

Уравнение прямой имеет вид y = mx + c, где m - наклон прямой, а c - свободный член.

Наклон прямой уже задан в условии, мы знаем, что m = 25.

10. Теперь остается найти свободный член c.

Мы можем использовать одну из точек на касательной, например, точку (5, 125/3), чтобы найти c.

Подставляем x = 5 и y = 125/3 в уравнение прямой и получаем: 125/3 = 25*5 + c.

Вычисляем это, получаем: 125/3 = 125 + c.

Вычитаем 125 с обеих сторон, получаем: -250/3 = c.

Таким образом, свободный член c равен -250/3. Итак, у нас есть уравнение касательной.

11. Итак, уравнение касательной к графику функции y = x^3/3, которое параллельно прямой y=25x−4, имеет вид y = 25x - 250/3.

Надеюсь, это решение понятно для школьника. Если возникнут вопросы, не стесняйтесь спрашивать!